Stable Model Categories

Triangulated category の典型的な例として2つのものがある。1つは, chain complex から作られる derived category であり, もう1つは spectrum から作られる stable homotopy category である。

1990年代に入り, spectrum を triangulated category の object ではなく symmetric monoidal model category の object とみなすための試みが成功を収め, spectrum に関する構成がかなり楽にできるようになった。

また, derived category については, 多くの場合, その元になっている chain complex の model category がある。

このように, triangulated category は model category のホモトピー圏として表わされる場合が多い。もちろん, 全ての model category から triangulated category ができるわけではない。ホモトピー圏が triangulated category になっている model category を公理化し, その性質をしらべようというのが, stable model category という概念が導入された動機である。例えば, Hovey の [Hov99] の7章を参照のこと。

• stable model category の homotopy category は triangulated category

そこで, stable model category 達に対し, homotopy category の triangulated category の構造がどれだけ model structure を決めるかという問題が考えられる。 もちろん, 一般にはhomotopy category を取ることで情報が失なわれるので, homotopy category が triangulated category として同値だが model category として Quillen equivalent にならない stable model category の例はある。 Schwede と Shipley の [SS02] や Dugger と Shipley の [DS09] にあるものなど。

一方で, Schwede [Sch07] により, spectrum の stable homotopy category は rigid, つまりある stable model category の homotopy category が triangulated category として spectrum の stable homotopy category と同値ならば, 元の stable model category が spectrum の category と Quillen 同値であることが示されている。

• spectrum の stable homotopy category は rigid

この手の問題については, Barnes と Roitzheim の [BR] の Introduction を見るとよいと思う。

また, stable model category が spectrum と関係深いことは次の事実から分かる。

• compact generator を持つ stable model category は, ある spectral category 上の module の成す category と Qullen 同値である。

  特に, 1つの compact generator で生成されている stable model category は, ある ring spectrum 上の module の成す category と Quillen 同値である。

  (Schwede と Shipley の [SS03])

• stable combinatorial model category は, symmetric spectrum による enrichment を持つ。 (Dugger の [Dug06])

Stable model category が spectrum の圏による enrichment を持つことは, Lenhardt の [Len] でも示されている。その主結果は, spectrum の圏から stable model category \(\bm{C}\)へ の left Quillen functor の成す圏が \(\bm{C}\) の homotopy category と同値になるということであるが。

Fausk と Isaksen の stable model category の \(t\)-structure は, その homotopy category である triangulated category の \(t\)-structure に対応したものである。

• Fausk と Isaksen [FI07] による stable model category の \(t\)-structure

Dugger と Shipley は [DS07] で additive model category の概念を定義し, stable additive combinatorial model category が自然に symmetric spectrum の圏による enrichment を持つことを示している。それにより dg category の構造も得られる。

• Dugger と Shipley による additive model category の定義 [DS07]
• Schwede と Shipley による, stable model category がある環の derived category を表現するための条件 [SS03]

このように, stable model category や triangulated category などの分野は, 安定ホモトピー論と代数学の接点となっている。Bousfield localization などの安定ホモトピー論の道具が, 表現論でも使われている [Ric00; Gri] のは興味深い。

Helmstutler [Hel] は semi-stable model category という概念を導入した。その目的は, model category の diagram category が Quillen 同値になるための条件を記述するためである。 Abelian category の一般化にもなっている。

• semi-stable model category

References

[BR]

David Barnes and Constanze Roitzheim. Rational Equivariant Rigidity. arXiv: 1009.4329.

[DS07]

Daniel Dugger and Brooke Shipley. “Enriched model categories and an application to additive endomorphism spectra”. In: Theory Appl. Categ. 18 (2007), No. 15, 400–439. arXiv: math/0602107.

[DS09]

Daniel Dugger and Brooke Shipley. “A curious example of triangulated-equivalent model categories which are not Quillen equivalent”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.1 (2009), pp. 135–166. arXiv: 0710.3070. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.135.

[Dug06]

Daniel Dugger. “Spectral enrichments of model categories”. In: Homology, Homotopy Appl. 8.1 (2006), pp. 1–30. arXiv: math/0502006. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1140012465.

[FI07]

Halvard Fausk and Daniel C. Isaksen. “t-model structures”. In: Homology Homotopy Appl. 9.1 (2007), pp. 399–438. arXiv: math/0511056.

[Gri]

Matthew Grime. Precovers, localizations and stable homotopy. arXiv: 0708.2866.

[Hel]

Randall D. Helmstutler. Model category extensions of the Pirashvili-Słomińska theorems. arXiv: 0806.1540.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[Len]

Fabian Lenhardt. Stable Frames in Model Categories. arXiv: 1002.2837.

[Ric00]

Jeremy Rickard. “Bousfield localization for representation theorists”. In: Infinite length modules (Bielefeld, 1998). Trends Math. Basel: Birkhäuser, 2000, pp. 273–283.

[Sch07]

Stefan Schwede. “The stable homotopy category is rigid”. In: Ann. of Math. (2) 166.3 (2007), pp. 837–863. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.166.837.

[SS02]

Stefan Schwede and Brooke Shipley. “A uniqueness theorem for stable homotopy theory”. In: Math. Z. 239.4 (2002), pp. 803–828. arXiv: math/0012021. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002090100347.

[SS03]

Stefan Schwede and Brooke Shipley. “Stable model categories are categories of modules”. In: Topology 42.1 (2003), pp. 103–153. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(02)00006-X.