代数学の教科書は数多く出版されていて, どれを見たらよいか迷うことが多い。 可換環については, Atiyah と Macdonald の教科書
[AM69] が有名である。 非可換環については, そのような本はあるのだろうか。
ここでは環とその上の加群についての基本的な概念を集めた。 可換環のみに関することについては, 別のところにある。
まず, 環の定義であるが, Abel群が tensor product で成す category の monoid object とみなすのが,
汎用性があってよい。 例えば, ring spectrum を spectrum の category の monoid object として,
自然に定義できる。
単位元を仮定しないものを semiring というが, それも Abel群の category の semigroup object
として理解しておく方がよい。
-
semiring
- 環 (ring)
- イデアル (ideal)
-
素イデアル (prime ideal)
-
極大イデアル (maximal ideal)
極大イデアルに関連して次の概念がある。
環があればその上の加群がある。
可換環 \(k\) 上の加群の category \(\lMod{k}\) は, \(\otimes _{k}\) により monoidal category になるが, その monoid object が,
\(k\)-algebra である。
Projective module に関連した概念として, stable equivalence がある。
- \(R\) 加群の二つの準同形 \[ f, g : M \longrightarrow N \] が stably equivalent であることの定義。またこれが同値関係であること。
- \(R\) 加群の準同形 \[ f : M \longrightarrow N \] がstable equivalence であることの定義。
Stable equivalence は, 位相空間や spectrum の ホモトピーと似ている。 もっとホモトピー論に近い扱いをしようという試みもある。
Gersten の [Ger71] や, より新しい model category の方法を用いたものとしては, Garkusha の[Gar07]
がある。
ある環上の module の圏で, 二つの object の間の morphism の集合を stably equivalence
という同値関係で割ったものを morphism の集合としてできる圏を stable module category という。 Frobenius 環の
stable module category は triangulated category になる。
普通は環にいくつか条件を付けたものを考える。
-
Noether環
-
Artin環
-
principal ideal domain
-
Cohen-Macauley環
-
Gorenstein環
-
von Neumann regular ring
von Neumann regular という条件は, 環の derived category で Generating Hypothesis
が成り立つための必要十分条件であることが, Hovey と Lockridge と Puninski の [HLP] で示されている。その元になった
Lockridge の論文 [Loc] によると, von Neumann regular ring についての文献として [Goo91]
がある。
- von Neumann regular な可換環は体の直積の subring である。
von Neumann regular という条件を, 環から加群へ拡張, そして更に, 一般の圏へ categorification
することもできる。 Dăscălescu, Năstăsescu, Tudorache, Dăuş の [Dăs+06] など。
代数的トポロジーで使う環や加群は次数付きであることが多い。
- 環 \(R\) に対し \(R\) 上の次数付き加群 (graded module) と二重次数付き加群 (bigraded module)
- 次数付き加群の元が homogeneous であることの定義。
-
次数付き環 (graded ring)
- 次数付き加群の tensor product
ある環 \(R\) 上の加群の圏を考え, その上の「良い」関手の性質を調べるのがホモロジー代数である。 より代数的な見地からは,
加群の圏の部分圏の分類なども興味深い話題である。 これについては, Hovey の [Hov01] や Chebolu の [Che07]
といった研究がある。
代表的なホモロジー代数的不変量としては, chain complex を用いて定義される Hochschild (co)homology
など以外にも, より高度な homotopical algebra を用いて定義される algebraic \(K\)-theory などがある。可換環に対しては,
André-Quillen (co)homology や Witt group というものもある。
References
-
[AM69]
-
M. F. Atiyah and I. G. Macdonald. Introduction
to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading,
Mass.-London-Don Mills, Ont., 1969, pp. ix+128.
-
[Che07]
-
Sunil K. Chebolu. “Abelian
subcategories closed under extensions: \(K\)-theory and decompositions”.
In: Comm. Algebra 35.3 (2007), pp. 807–819. arXiv: math/0507320.
url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870601115716.
-
[Dăs+06]
-
S. Dăscălescu, C. Năstăsescu, A. Tudorache, and L. Dăuş.
“Relative regular objects in categories”. In: Appl. Categ.
Structures 14.5-6 (2006), pp. 567–577. arXiv: math/0605606. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s10485-006-9048-1.
-
[Gar07]
-
Grigory Garkusha. “Homotopy theory of associative rings”. In:
Adv. Math. 213.2 (2007), pp. 553–599. arXiv: math/0608482. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.013.
-
[Ger71]
-
S. M. Gersten. “Homotopy theory of rings”. In: J. Algebra 19 (1971),
pp. 396–415.
-
[Goo91]
-
K. R. Goodearl. von Neumann regular rings. Second. Robert E.
Krieger Publishing Co., Inc., Malabar, FL, 1991, pp. xviii+412. isbn:
0-89464-632-X.
-
[HLP]
-
Mark Hovey, Keir Lockridge, and Gena Puninski. The generating
hypothesis in the derived category of a ring. arXiv: math/0610201.
-
[Hov01]
-
Mark Hovey. “Classifying subcategories of modules”. In: Trans.
Amer. Math. Soc. 353.8 (2001), 3181–3191 (electronic). url:
http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-01-02747-7.
-
[Loc]
-
Keir H. Lockridge. The generating hypothesis in the derived category
of \(R\)-modules. arXiv: math/0511534.
|