Homology of Small Categories

Small category は, 群や monoid の一般化 (many-objectification) であるから, 群の (コ)ホモロジーを一般化して, small category の (コ)ホモロジーを定義することができる。

他にも様々な方法で(コ)ホモロジーが定義される。 Balchin [Bal] は small category の(コ)ホモロジーに関する classical papers として Watt の [Wat66], Grothendieck の [Gro57], Quillen の [Qui73], そして Baues と Wirsching の [BW85] を挙げている。

Richter の本 [Ric20] の Chapter 16 には, small category の各種(コ)ホモロジーがまとめられているので, まずはこれを見てみるのも良いかもしれない。

最も基本的なのは, 群の(コ)ホモロジーのように bar resolution を使ったものだろう。

• bar construction による small category の(コ)ホモロジー

これは, derived functor としての記述と同じことである。 また, 分類空間の (コ)ホモロジーとみなすこともできる。

• \(C\) を small category とし \(L\) を \(BC\) 上の local coefficient system とすると, 次の同型がある。 \[ \begin {split} H_p(BC;L) & \cong \colim ^p_{C} L \\ H^p(BC;L) & \cong \lim ^p_{C} L \end {split} \] ただし \(\colim ^p\) と \(\lim ^p\) は, それぞれ \(\colim \) と \(\lim \) の \(p\)-th left および right derived functor である。

少し群の cohomology を知っている人なら, より一般に, small category \(C\) に対し, \(\mathrm {Ext}^*_{C}(M,N)\) や \(\mathrm {Tor}^{C}_*(M,N)\) が定義できそうだと思うだろう。 このときに “module” \(M\) や \(N\) として, 何を取るかが問題であるが, left module は covariant functor, right module は contravariant functor を取るべきだということが分かる。

Object の集合が \(S\) である small category は 頂点集合が \(S\) である quiver の成す monoidal category での monoid object とみなすことができるが, その monoid object 上の left module と right module が covariant functor と contravariant functor に他ならないからである。このような small category の (co)homology を functor (co)homology と呼ぶらしい。

• functor (co)homology

文献としては, Pirashvili の [Pir03b] がある。Kurdiani と Pirashvili の [KP16] によると, Pirashvili の [Pir03a] で開発されたもののようである。この Pirashvili の論文では, André-Quillen homology が functor homology として表せることが示されている。他にも様々な (co)homology が functor homology として表せるようである。

• André-Quillen homology (Pirashvili の [Pir03a])
• Hochschild homology や cyclic homology (Pirashvili と Richter の [PR02])
• \(\Gamma \)-homology (Pirashvili と Richter の [PR00])
• \(E_n\)-algebra の homology (\(n=\infty \) は Fresse の [Fre11], 一般には Livernet と Richter の [LR11])
• Lie algebra の Leibniz homology (Hoffbeck と Vespa の [HV15])

Small \(k\)-linear category の Hochschild (co)homology は, Mitchell [Mit72] で導入されたので, Hochschild-Mitchell (co)homology と呼ばれることが多い。

Dwyer と Kan [DK88] は, small category の Hochschild-Mitchell cohomology, simplicial category の cohomology, simplicial set の図式のホモトピー論的 cohomology の3種類を比較している。

Small category の (co)homology としては, Baues と Wirsching によるものもある。

• small category の natural system
• natural system に係数を持つコホモロジー (Baues-Wirsching コホモロジー) [BW85]

Calvo-Cervera と Cegarra の [CC] によると, monoid (を small categoryとみなしたもの) の Baues-Wirsching cohomology は, Baues と Wirsching より前に, Leech [Lee75] により考えられていたようである。 そこでは, natural system の category は category of factorizations と呼ばれている。そして (co)homology は Leech (co)homology と呼ばれている。

Pirashvili と Redondo の [PR06] では, Grothedieck construction の Baues-Wirsching cohomology に収束する spectral sequence が構成されている。

また, Baues-Wirsching cohomology の元になる complexは, ある \(2\)-category の上の\(2\)-functor になることも, Muro の [Mur06] で示されている。そのホモロジー版としては, Pirashvili と Waldhausen の [PW92] とその上記の論文での Muro による拡張がある。

また, Gálvez-Carrillo, Neumann, Tonks [GNT13] による拡張もある。Thomason natural system という概念を用いて定義されている。

• Thomason (co)homology

その Thomason cohomology を用いて higher category の cohomology が Balchin の [Bal] で定義されている。

References

[Bal]

Scott Balchin. Factorisation and Cohomology of Higher Categories. arXiv: 1406.2569.

[BW85]

Hans Joachim Baues and Günther Wirsching. “Cohomology of small categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 38.2-3 (1985), pp. 187–211. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(85)90008-8.

[CC]

María Calvo-Cervera and Antonio M. Cegarra. Computability of the (co)homology of cyclic monoids. arXiv: 1602.01272.

[DK88]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Hochschild-Mitchell cohomology of simplicial categories and the cohomology of simplicial diagrams of simplicial sets”. In: Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 50.2 (1988), pp. 111–120.

[Fre11]

Benoit Fresse. “Iterated bar complexes of \(E\)-infinity algebras and homology theories”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.2 (2011), pp. 747–838. arXiv: 0810.5147. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2011.11.747.

[GNT13]

Imma Gálvez-Carrillo, Frank Neumann, and Andrew Tonks. “Thomason cohomology of categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 217.11 (2013), pp. 2163–2179. arXiv: 1208.2889. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2013.02.005.

[Gro57]

Alexander Grothendieck. “Sur quelques points d’algèbre homologique”. In: Tôhoku Math. J. (2) 9 (1957), pp. 119–221.

[HV15]

Eric Hoffbeck and Christine Vespa. “Leibniz homology of Lie algebras as functor homology”. In: J. Pure Appl. Algebra 219.9 (2015), pp. 3721–3742. arXiv: 1401.6139. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.12.019.

[KP16]

Revaz Kurdiani and Teimuraz Pirashvili. “Functor homology and homology of commutative monoids”. In: Semigroup Forum 92.1 (2016), pp. 102–120. arXiv: 1407.7648. url: https://doi.org/10.1007/s00233-014-9683-z.

[Lee75]

Jonathan Leech. “\(\mathcal {H}\)-coextensions of monoids”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 1.issue 2, 157 (1975), pp. 1–66.

[LR11]

Muriel Livernet and Birgit Richter. “An interpretation of \(E_n\)-homology as functor homology”. In: Math. Z. 269.1-2 (2011), pp. 193–219. arXiv: 0907.1283. url: https://doi.org/10.1007/s00209-010-0722-5.

[Mit72]

Barry Mitchell. “Rings with several objects”. In: Advances in Math. 8 (1972), pp. 1–161. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(72)90002-3.

[Mur06]

Fernando Muro. “On the functoriality of cohomology of categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 204.3 (2006), pp. 455–472. arXiv: math/0411478. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2005.05.004.

[Pir03a]

Teimuraz Pirashvili. “André-Quillen homology via functor homology”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 131.6 (2003), 1687–1694 (electronic). arXiv: math/0110044. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-02-06741-2.

[Pir03b]

Teimuraz Pirashvili. “Introduction to functor homology”. In: Rational representations, the Steenrod algebra and functor homology. Vol. 16. Panor. Synthèses. Paris: Soc. Math. France, 2003, pp. 1–26.

[PR00]

T. Pirashvili and B. Richter. “Robinson-Whitehouse complex and stable homotopy”. In: Topology 39.3 (2000), pp. 525–530. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00014-2.

[PR02]

T. Pirashvili and B. Richter. “Hochschild and cyclic homology via functor homology”. In: \(K\)-Theory 25.1 (2002), pp. 39–49. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1015064621329.

[PR06]

Teimuraz Pirashvili and María Julia Redondo. “Cohomology of the Grothendieck construction”. In: Manuscripta Math. 120.2 (2006), pp. 151–162. arXiv: math / 0504282. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00229-006-0634-1.

[PW92]

Teimuraz Pirashvili and Friedhelm Waldhausen. “Mac Lane homology and topological Hochschild homology”. In: J. Pure Appl. Algebra 82.1 (1992), pp. 81–98. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(92)90012-5.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[Ric20]

Birgit Richter. From categories to homotopy theory. Vol. 188. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2020, pp. x+390. isbn: 978-1-108-47962-2. url: https://doi.org/10.1017/9781108855891.

[Wat66]

Charles E. Watts. “A homology theory for small categories”. In: Proc. Conf. Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965). Springer, New York, 1966, pp. 331–335.