Monoidal structure を持つ triangulated category

Balmer が [Bal02] で言っているように, tensor product を持つ triangulated category は遍在している。 例えば, 安定ホモトピー論では, spectrum の smash product をどのように定義するかというのは, 重要な問題だった。

Balmer は [Bal02; Bal05] で “tensor product を持つ triangulated category” の定義をしているが, そこでは彼の目的に必要な最小限のことしか要求していない。Hovey と Palmieri と Strickland [HPS97] も tensor product を持つ triagulated category を考えているが, triangulation と monoidal structure の関係について要求していることは, Balmer と大差ない。もちろん彼等は stable homotopy category を念頭においているので, closed symmetric monoidal category で考えているが。

• Balmer の意味の tensor product を持つ triangulated category

より正確には, monoidal structure と triangulated category の公理との関係を考えるべきだろう。 これについて一つの解答は, May により [May01] で与えられている。

• May の意味の closed symmetric monoidal triangulated category

May は stable homotopy category を念頭に置いているので, symmetric monoidal であり closed, つまり internal Hom を持つことを要求している。 また May の目的は dualizing object を考えることなので, duality についての公理もある。 安定ホモトピー論以外で使うためには, symmetricity に関する部分, internal Hom に関する部分, duality に関する部分と, 公理を分けておくべきだろう。

また, この May の公理については, Keller と Neeman の [KN02] も読むべきだろう。\(D_4\) quiver の derived category との関係が述べられていて興味深い。

May は, その論文のタイトルからも分かるように, triangulated category での trace を考えている。Monoidal structure を持つtriangulated category での dualizable object の self-morphism に対しては, trace が定義できるのである。

• monoidal triangulated category での trace

一般には, trace は additive にならないことは, Ferrand [Fer] により示されている。May は, monoidal model category の homotopy category になっている monoidal triangulated category では additivity が成り立つことを示しているが, Grothendieck Abelian category の derived category については, model category を使わなくても直接示せる [Son] ようである。

Balmer の [Bal05] では, symmetric monoidal structure を持つ triangulated category に対し ideal (thick \(\otimes \)-ideal) の概念が定義され, prime ideal の集合上に Zariski topology, そして structure sheaf が定義されている。この spectrum を調べることを tensor triangular geometry と言うらしい。

• tensor triangular geometry

Monoidal category は category の成す category の弱い意味での monoid object だから, monoidal triagulated category は環の categorification と考えることができる。その上の module の categorification として, Greg Stevenson [Ste13] は, monoidal triagulated category の triangulated category への作用を考えている。

Triangulated category の一般化は様々なものが考えられているが, 当然それらの monoidal structure も考えられている。 例えば, extriangulated category の monoidal structure については, Bennett-Tennenhaus らの [Ben+] で考えられている。

References

[Bal02]

Paul Balmer. “Presheaves of triangulated categories and reconstruction of schemes”. In: Math. Ann. 324.3 (2002), pp. 557–580. arXiv: math/0111049. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-002-0353-1.

[Bal05]

Paul Balmer. “The spectrum of prime ideals in tensor triangulated categories”. In: J. Reine Angew. Math. 588 (2005), pp. 149–168. arXiv: math/0409360. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2005.2005.588.149.

[Ben+]

Raphael Bennett-Tennenhaus, Isambard Goodbody, Janina C. Letz, and Amit Shah. Tensor extriangulated categories. arXiv: 2502.18257.

[Fer]

Daniel Ferrand. On the non additivity of the trace in derived categories. arXiv: math/0506589.

[HPS97]

Mark Hovey, John H. Palmieri, and Neil P. Strickland. “Axiomatic stable homotopy theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 128.610 (1997), pp. x+114. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0610.

[KN02]

Bernhard Keller and Amnon Neeman. “The connection between May’s axioms for a triangulated tensor product and Happel’s description of the derived category of the quiver \(D_4\)”. In: Doc. Math. 7 (2002), 535–560 (electronic).

[May01]

J. P. May. “The additivity of traces in triangulated categories”. In: Adv. Math. 163.1 (2001), pp. 34–73. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.1995.

[Son]

Carlos Soneira. On the additivity of geometric invariants in Grothendieck categories. arXiv: 1007.4409.

[Ste13]

Greg Stevenson. “Support theory via actions of tensor triangulated categories”. In: J. Reine Angew. Math. 681 (2013), pp. 219–254. arXiv: 1105.4692.