D-brane

\(D\)-brane について, 数学的に書いてあるものとして Brodzki と Mathai と Rosenberg と Szabo の [Bro+08] がある。

それによると, \(D\)-brane charge や Ramond-Ramond field を \(K\)-theory の元として表すことを提案したのは, Minasian と Moore [MM97] のようである。

Moore は, ここで \(D\)-brane や Ramond-Ramond field についての講義録を公開している。

他の文献としては, 例えば, [Wit98; MW00; AST02] などがある。解説としては, Polchinski の [Pol] もある。Calabi-Yau の例として \(\bbC ^3\) をとりあげ初学者向けに解説した Yang-Hui He による [He] という解説もある。

当然であるが, superstring theory のタイプ, そして spacetime によって, どの \(K\)-theory に値をとるかが変ってくる。 Reis と Szabo の [RS06] の Introduction によると以下のような感じになっているらしい:

• Type II superstring theory: complex \(K\)-theory
• Type I superstring theory: \(\mathrm{KO}\)-theory
• non-trivial \(B\)-field が存在する場合: twisted \(K\)-theory

Orbifold 上の \(D\)-brane charge に対しては, 少なくとも global quotient の場合には, equivariant \(K\)-theory を使うことが考えられている。Hu と Kriz の [HK] など。 Orbifold \(K\)-theory を使うのが自然だと思うが。Szabo と Valentino の [SV10] では, Bredon cohomology を使うことが提唱されている。

Reis と Szabo の [RS06] は type II で non-tirival \(B\)-field が存在しない場合を扱っている。よって \(D\)-brane charge は, complex \(K\)-theory の元として表わされるはずである。彼等の主張は, \(K\)-cohomology ではなく \(K\)-homology, 特に Baum-Douglas の topological \(K\)-homology を使うのがよい, ということである。これは, トポロジストには分かりやすい。

Reis と Szabo と Valentino は [RSV09] で, type I の場合を考えるために \(KO\)-homology theory について調べている。特に, analytic \(KO\)-homology を Kasparov の \(KK\)-theory を用いて定義している。また, Baum-Douglas type の \(KO\)-homology についても詳しく調べている。

より一般的な場合を数学的に正確に扱うのにはどうすればよいのだろうか。 Brodzki と Mathai と Rosenberg と Szabo の [Bro+08] は noncommutative spacetime の上での \(D\)-brane の解釈を目指したものなので, \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory の枠組みで議論されている。

Calabi-Yau 多様体の上の D-brane は coherent sheaf の derived category を用いて表わすのがよいらしい。 Aspinwall の [Asp05] は sheaf や多様体の定義から解説してある。 Triangulated category の stability condition を理解するためには, その元となった Douglas の \(\Pi \)-stability, よって coherent sheaf としての D-brane の stability について理解した方がよいのだろう。物理の素養の無い人間にとってはつらいが。

References

[Asp05]

Paul S. Aspinwall. “D-branes on Calabi-Yau manifolds”. In: Progress in string theory. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2005, pp. 1–152. arXiv: hep-th/0403166.

[AST02]

Tsuguhiko Asakawa, Shigeki Sugimoto, and Seiji Terashima. “D-branes, matrix theory and \(K\)-homology”. In: J. High Energy Phys. 3 (2002), No. 34, 40. url: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/2002/03/034.

[Bro+08]

Jacek Brodzki, Varghese Mathai, Jonathan Rosenberg, and Richard J. Szabo. “D-branes, RR-fields and duality on noncommutative manifolds”. In: Comm. Math. Phys. 277.3 (2008), pp. 643–706. arXiv: hep-th/0607020. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-007-0396-y.

[He]

Yang-Hui He. Lectures on D-branes, Gauge Theories and Calabi-Yau Singularities. arXiv: hep-th/0408142.

[HK]

Po Hu and Igor Kriz. The \(RO(G)\)-graded coefficients of \((\Z /2)^n\)-equivariant \(K\)-theory. arXiv: math/0609067.

[MM97]

Ruben Minasian and Gregory Moore. “\(K\)-theory and Ramond-Ramond charge”. In: J. High Energy Phys. 11 (1997), Paper 2, 7 pp. (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/1997/11/002.

[MW00]

Gregory Moore and Edward Witten. “Self-duality, Ramond-Ramond fields and \(K\)-theory”. In: J. High Energy Phys. 5 (2000), Paper 32, 32. url: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/2000/05/032.

[Pol]

Joseph Polchinski. TASI Lectures on D-Branes. arXiv: hep-th/9611050.

[RS06]

Rui M. G. Reis and Richard J. Szabo. “Geometric \(K\)-homology of flat D-branes”. In: Comm. Math. Phys. 266.1 (2006), pp. 71–122. arXiv: hep-th/0507043. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-006-0010-8.

[RSV09]

Rui M. G. Reis, Richard J. Szabo, and Alessandro Valentino. “KO-homology and type I string theory”. In: Rev. Math. Phys. 21.9 (2009), pp. 1091–1143. arXiv: hep-th/0610177. url: https://doi.org/10.1142/S0129055X09003839.

[SV10]

Richard J. Szabo and Alessandro Valentino. “Ramond-Ramond fields, fractional branes and orbifold differential \(K\)-theory”. In: Comm. Math. Phys. 294.3 (2010), pp. 647–702. arXiv: 0710.2773. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0975-1.

[Wit98]

Edward Witten. “D-branes and \(K\)-theory”. In: J. High Energy Phys. 12 (1998), Paper 19, 41 pp. (electronic). arXiv: hep-th/9810188. url: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/1998/12/019.