単体的複体の組み合せ論的構造

最近は, 単体的複体は, トポロジーよりも組み合せ論的で登場することが多い。 そのような文献を読むためには, まずは poset との対応を知っておくべきだろう。

• 単体的複体の face poset
• poset の order complex
• 単体的複体の face poset の order complex は元の単体的複体の重心細分になる。

Poset の order complex は, small category の nerve の特別な場合である。Small category の圏が nerve functor により simplicial set の圏に埋め込めることからも分かるように, poset は その order complex を用いて調べるのが自然である。つまり poset を単体的複体と見なしてトポロジーの道具を使って調べることができるのである。

• poset のトポロジー

Poset の order complex を含む単体的複体の class として flag simplicial complex がある。Athanasiadis の [Ath11] などをみるとよい。

• flag simplicial complex

Flag simplicial complex とは, \(1\)-skeleton で決定される simplicial complex であるから, 当然グラフ理論と関係が深い。例えば, Boulet と Fieux と Jouve の [BFJ10] など。

Lutz と Nevo [LN16] は, flag simplicial complex がPL同相になるための条件を求めている。

Flag simplicial complex の典型的な例は次のものである。

• poset の order complex は flag simplicial complex になる。
• よって simplicial complex の重心細分 は flag simplicial complex になる。

組み合せ論の視点から定義された単体的複体の不変量も, もちろん色々ある。 各次元の面の数を数えた \(f\)-vector は基本的な情報である。

• Euler 標数
• \(f\)-vector
• \(h\)-vector
• \(h\)-polynomial
• local \(h\)-polynomial

Local \(h\)-polynomial は Stanley の [Sta92] で細分の面を数えるために導入された。 Athanasiadis の [Ath12] は, その cubical complex での類似のようである。 Athanasiadis [Ath14] は, local \(h\)-polynomial の組み合せ論的な解釈を与えている。

トポロジーではあまり見かけない, 組み合せ論特有の単体的複体の性質もいくつかある。 Björner と Wachs の [BW96; BW97] など。

• pure
• shellable
• vertex decomposable

\(3\)次元多様体のような, 難しいトポロジーの研究対象を単体分割することにより, 組み合せ論の対象として考えることも行なわれている。 [Wal70; LSS09] など。

Kalai と Meshulam は Leray number という不変量について, [KM08] で考えている。

• Leray number

その道具として, 特異点の研究のために開発された Goryunov と Mond の image computing spectral sequence [GM93] を用いているのは興味深い。

Kalai と Meshulam の論文の主題は, Helly の定理と呼ばれる convex geometry の定理である。その一般化も Kalai と Meshulam [KM05] により得られている。

• topological colorful Helly theorem

また, その定理と, 組み合せ論的可換環論 (combinatorial commutative algebra) との関係について, Fløystad が, [Flø11] で調べている。

Woodroofe [Woo14] は, Kalai と Meshulam の結果を使って, regularity という不変量について調べている。主定理は, グラフの independence complex に関するものであるが。

• 単体的複体の regularity

組み合せ論的可換環論との関係では, まず Stanley-Reinser 環を理解する必要がある。

• 単体的複体の Stanley-Reisner 環

単体的複体の組み合せ論的 (トポロジー的) 性質とその Stanley-Reisner 環の代数的性質がどのように対応しているかというのは, 誰もが思うことだろう。 次のような性質が調べられている。

• Cohen-Macauley
• sequentially Cohen-Macauley
• Golod ([HRW99; BJ07])
• strong gcd-condition ([Ber09])
• Alexander duality ([HRW99])
• Buchsbaum ([NS09; Mur09])

Berglund と Jöllenbeck の [BJ07] では, discrete Morse theory の代数版が使われている。

単体的複体を グラフの高次元版と考えることもできる。 そして, グラフに対し考えられてきたことの単体的複体版を考えることも行なわれている。

• グラフの高次元化としての単体的複体や胞体複体

これらは, 単体的複体を hypergraph とみなすこと, と言ってもいいだろう。

例えば, グラフの distributional limit の類似として, Elek [Ele10] は, 有限単体的複体の列の収束を考えている。Duval と Klivans と Martin [DKM11] は, グラフの critical group あるいは sandpile group と呼ばれる群の単体的複体への一般化を考えている。

単体的複体の自然な一般化としては, semisimplicial set があるが, その組み合せ論的構造を調べようとしている人は, あまりいないように思う。 最近では, García-Calcines と Hernández-Paricio と Rivas-Rodoríguez の [GHR22] や [CPR] があるが。

References

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[Ath12]

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