Generalizations and Variations of Simplicial Complexes

単体的複体には様々な一般化が考えられているが, トポロジーでは, まず cell complexを知っておくべきだろう。 特に, regular cell complex は, 単体的複体と類似の性質を持っている。

• regular cell complex

単体的複体と regular cell complex の中間にあるものとして, 多面体を貼り合せてできる polyhedral complex がある。

• polyhedral complex

ホモトピー論では, semisimplicial set や simplicial set が重要である。

• semisimplicial set
• simplicial set

別の方向の一般化として \(q\)-analogue がある。 Ghorpade [GPR22] らにより \(q\)-matroid の定義に動機を得て, 導入された。

• \(q\)-complex

もちろん, 組み合せ論的な問題だけでなく幾何学的問題にも使われる。

多様体の性質の 組み合せ論的 (離散的) な類似としては, 負 (非正) の曲率を持った空間に対応する概念としての systolic complex がある。 Januszkiewicz と Swiatkowski により, [JŚ06] で導入された。Systolic complex に properly discontinously かつ cocompactlyに作用する群は, \(k\)-systolic group と呼ばれる。Osadja [Osa07] によると Haglund によっても独立に発見された概念らしい。

• \(k\)-systolic complex
• \(k\)-systolic group

Benedetti と Ziegler [BZ11] によると, 数理物理にも使われるようである。Quantum gravity の離散化として単体的複体上で考えるというアプローチの解説として, Regge と Williams らの [RW00] や Ambjørn と Durhuus と Jonsson の [ADJ97] が挙げられている。

多様体の接束の自明化を framing と呼ぶが, その離散版として, ordered simplicial complex の framing を Dorn と Douglas が [DD] で定義している。

• framed simplicial complex

単体的複体に構造を付加したものとしては, weighted simplicial complex というものもある。 Dawson [Daw90] により導入された。

• weighted simplicial complex

Ren 達 [RWW18; RWW21; Wu+20] や Baccini ら [BGB] にように, 応用トポロジーで使おうとしている人もいる。

References

[ADJ97]

Jan Ambjørn, Bergfinnur Durhuus, and Thordur Jonsson. Quantum geometry. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. A statistical field theory approach. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, pp. xiv+363. isbn: 0-521-46167-7. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511524417.

[BGB]

Federica Baccini, Filippo Geraci, and Ginestra Bianconi. Weighted simplicial complexes and their representation power of higher-order network data and topology. arXiv: 2207.04710.

[BZ11]

Bruno Benedetti and Günter M. Ziegler. “On locally constructible spheres and balls”. In: Acta Math. 206.2 (2011), pp. 205–243. arXiv: 0902.0436. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-011-0062-2.

[Daw90]

Robert J. MacG. Dawson. “Homology of weighted simplicial complexes”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 31.3 (1990), pp. 229–243.

[DD]

Christoph Dorn and Christopher L. Douglas. Framed combinatorial topology. arXiv: 2112.14700.

[GPR22]

Sudhir R. Ghorpade, Rakhi Pratihar, and Tovohery H. Randrianarisoa. “Shellability and homology of \(q\)-complexes and \(q\)-matroids”. In: J. Algebraic Combin. 56.4 (2022), pp. 1135–1162. arXiv: 2102.13102. url: https://doi.org/10.1007/s10801-022-01150-1.

[JŚ06]

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[Osa07]

Damian Osajda. “Connectedness at infinity of systolic complexes and groups”. In: Groups Geom. Dyn. 1.2 (2007), pp. 183–203. arXiv: 0711.4093. url: https://doi.org/10.4171/GGD/9.

[RW00]

Tullio Regge and Ruth M. Williams. “Discrete structures in gravity”. In: J. Math. Phys. 41.6 (2000), pp. 3964–3984. arXiv: gr-qc/0012035. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.533333.

[RWW18]

Shiquan Ren, Chengyuan Wu, and Jie Wu. “Weighted persistent homology”. In: Rocky Mountain J. Math. 48.8 (2018), pp. 2661–2687. arXiv: 1708.06722. url: https://doi.org/10.1216/rmj-2018-48-8-2661.

[RWW21]

Shiquan Ren, Chengyuan Wu, and Jie Wu. “Computational tools in weighted persistent homology”. In: Chinese Ann. Math. Ser. B 42.2 (2021), pp. 237–258. arXiv: 1711.09211. url: https://doi.org/10.1007/s11401-021-0255-8.

[Wu+20]

Chengyuan Wu, Shiquan Ren, Jie Wu, and Kelin Xia. “Weighted fundamental group”. In: Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 43.6 (2020), pp. 4065–4088. arXiv: 1808.06184. url: https://doi.org/10.1007/s40840-020-00904-z.