Moment-angle Complex

Davis と Januszkiewicz は, [DJ91] で simple polytope \(P\) とその codimension \(1\) の面の集合上の characteristic function と呼ばれる関数 \(\chi \) から, torus の作用する空間 \(M(\chi )\) を構成した。

この Davis と Januszkiewicz の構成には名前がついていないようであるが, 同様の \(T^n\times P\) の商空間として得られる構成で moment-angle complex と呼ばれるものがある。Panov の KAIST での lecture note [Pan] の lecture II には, 様々な構成がまとめられている。別の構成を使うと一般化が考えられ, 例えば, simplicial complex にも一般化できる。Panov の lecture note では, 多面体に対するものは moment-angle manifold と呼ばれている。

• 多面体 \(P\) の moment-angle manifold \(\mathcal{Z}_P\)
• 単体的複体 \(K\) の moment-angle complex \(\mathcal{Z}_K\)
• そのBorel construction \(ET^m\times _{T^m}\mathcal{Z}_P\) のコホモロジーは, \(P\) の Stanley-Reisner 環と同型になる。

実際には, \(BT^m\) の subcomplex として定義される空間が, Stanley-Reisner 環と直接関係があり, \(ET^m\times _{T^m}Z_P\) は, その空間とホモトピー同値になる。 これらに関連したことについては, Buchstaber と Panov の解説 [BP00] をみるとよい。

Panov と Ray と Vogt [PRV04] は, \(B_{T^m}Z_P\) のホモトピー型のことを, Davis-Januskiewicz space と呼び, そのループ空間を, topological group の homotopy colimit を用いて表わすことを行なっている。 Moment-angle complex そのものの cohomology ring については, Panov の [Pan08] に書いてあるように, Stanley-Reisner 環の \(\mathrm{Tor}\) と同型になる。

これらの複体のホモトピー論的性質を調べることにより, 元の単体複体の組み合せ論的な情報が得られる。コホモロジー, ホモトピー群, Massey product からどのような組み合せ論的な情報が得られるかについては, Denham と Suciu の [DS07] を見るとよい。

ホモトピー論の道具が応用できるということで, moment-angle complex は, ホモトピー論の専門家にとっても面白い対象である。実際, Notbohm と Ray の [NR05] を始めとして, 様々な人が調べている。

関連した構成として Panov と Ray と Vogt の, simplicial complex に associateした図式 (small category) の構成 [PRV04] がある。

Bahri と Bendersky と F. Cohen と Gitler の [Bah+10] では, これらの構成を包括する polyhedral product という構成が調べられている。

• polyhedral product

Partial product とか generalized moment-angle complex などとも呼ばれたりするが, 現在では polyhedral product という名称が最も一般的だろう。 Bahri らによると, 名付けたのは William Browder らしい。

Bahri らは, その suspension の分解を証明している。また [Bah+12] では, コホモロジーの cup 積の構造が調べられている。 Dobrinskaya の [Dob] でその loop 空間が調べられている。

どのようなことが知られていて, 今後どのような問題を考えるべきかについては, 同じく Bahri らの [Bah+13] を見るとよい。

Lü と Panov は simplicial poset への一般化を [LP11] で考えている。

References

[Bah+10]

A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, and S. Gitler. “The polyhedral product functor: a method of decomposition for moment-angle complexes, arrangements and related spaces”. In: Adv. Math. 225.3 (2010), pp. 1634–1668. arXiv: 0711.4689. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.03.026.

[Bah+12]

A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, and S. Gitler. “Cup-products for the polyhedral product functor”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 153.3 (2012), pp. 457–469. arXiv: 1001.3372. url: https://doi.org/10.1017/S0305004112000230.

[Bah+13]

A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, and S. Gitler. “On problems concerning moment-angle complexes and polyhedral products”. In: Trans. Moscow Math. Soc. (2013), pp. 203–216. url: https://doi.org/10.1090/s0077-1554-2014-00215-6.

[BP00]

V. M. Bukhshtaber and T. E. Panov. “Actions of tori, combinatorial topology and homological algebra”. In: Uspekhi Mat. Nauk 55.5(335) (2000), pp. 3–106. arXiv: math/0010073. url: http://dx.doi.org/10.1070/rm2000v055n05ABEH000320.

[DJ91]

Michael W. Davis and Tadeusz Januszkiewicz. “Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions”. In: Duke Math. J. 62.2 (1991), pp. 417–451. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-91-06217-4.

[Dob]

Natalia Dobrinskaya. Loops on polyhedral products and diagonal arrangements. arXiv: 0901.2871.

[DS07]

Graham Denham and Alexander I. Suciu. “Moment-angle complexes, monomial ideals and Massey products”. In: Pure Appl. Math. Q. 3.1, Special Issue: In honor of Robert D. MacPherson. Part 3 (2007), pp. 25–60. arXiv: math/0512497. url: http://dx.doi.org/10.4310/PAMQ.2007.v3.n1.a2.

[LP11]

Zhi Lü and Taras Panov. “Moment-angle complexes from simplicial posets”. In: Cent. Eur. J. Math. 9.4 (2011), pp. 715–730. arXiv: 0912.2219. url: http://dx.doi.org/10.2478/s11533-011-0041-z.

[NR05]

Dietrich Notbohm and Nigel Ray. “On Davis-Januszkiewicz homotopy types. I. Formality and rationalisation”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), pp. 31–51. arXiv: math/0311167. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2005.5.31.

[Pan]

Taras Panov. Moment-angle manifolds and complexes. Lecture notes KAIST’2010. arXiv: 1008.5047.

[Pan08]

Taras E. Panov. “Cohomology of face rings, and torus actions”. In: Surveys in contemporary mathematics. Vol. 347. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2008, pp. 165–201. arXiv: math/0506526.

[PRV04]

Taras Panov, Nigel Ray, and Rainer Vogt. “Colimits, Stanley-Reisner algebras, and loop spaces”. In: Categorical decomposition techniques in algebraic topology (Isle of Skye, 2001). Vol. 215. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2004, pp. 261–291. arXiv: math/0202081.