Combinatorial Commutative Algebra

Combinatorial commutative algebra という言葉が, Novik と Postnikov と Sturmfels の [NPS02] の最初に登場する。そこでは, 多項式環の生成元と関係式に関する組み合せ論, というような意味で用いられているようである。また Sturmfels は Ezra Miller と [MS05] という本も書いている。

• 多項式と多項式環

Novik らの論文や Dochtermann と Mohammadi の [DM14] では基本的な問題として, 多項式間の monomial ideal の free resolution を求める ことが挙げられている。Herzog と Takayama [HT02] は mapping cone を取ることを繰り返して得られる resolution について調べているが, Dochtermann と Mohammadi の [DM14] は, それを regular cell complex レベルで実現しようというものである。元々, Herzog と Takayama の motivation は Bayer と Sturmfels [BS98] の regular cell complex を用いた resolution の構成にあるのだから, 自然な流れである。

他にも topological combintorics と可換環の関係として最も有名なのは 単体的複体の Stanley-Reisner 環である。

• Stanley-Reisner 環

二つの単体的複体の Stanley-Reisner 環が同型になるとき, それらは単体的複体として同型か, というのは自然な問題である。その肯定的な解答は, Bruns と Gubeladze [BG96] により与えられた。Zaare と Nahandi の [Zaa09] にも証明がある。

Stanley-Reisner 環を用いることにより Cohen-Macauley などの環論的概念が単体的複体にも導入され, 単体的複体の組み合せ論的性質を調べるのに重要な役割を果す。Sequential Cohen-Macauley や homotopy Cohen-Macauley といった拡張は, それぞれ [Sta96] と [BWW05] で定義された。

• Cohen-Macauley simplicial complex
• sequentically Cohen-Macauley simplicial complex
• Cohen-Macauley であるための必要十分条件は sequentially Cohen-Macauley かつ pure [Wac99]
• homotopy Cohen-Macauley simplicial complex
• sequentially homotopy Cohen-Macauley simplicial complex

これらの Cohen-Macauley simplicial complex や poset の性質は, Björner と Wachs と Welker により [BWW09] で調べられている。その Appendix では, その環論的な意味についても述べてある。

Novik と Swartz [NS12] によると, Stanley [Sta77] による Cohen-Macauley simplicial complex の \(f\)-vector の特徴付けは, Schenzel [Sch81] により, 頂点の link が Cohen-Macauley である simplicial complex へ拡張された。そのような simplicial complex を Buchsbaum complex というらしい。Novik と Swartz は, 頂点の link が Buchsbaum complex になっているものを考えている。その motivation は, Miller との [MNS11] にあるように, “特異点を持つ単体的複体”への拡張である。

• Buchsbaum complex
• simplicial complex with homologically isolated singularities

通常の代数的トポロジーの道具でもかなりの組み合せ論的情報を取り出すことができるが, もちろん, 失われる情報も多い。Fløystad は [Flø07] で単体的複体の enriched (co)homology というものを定義した。 単体的複体のホモロジーで失なわれる組み合せ論的性質を保持するものである。 更に, [Flø06] では, その定義がregular cell complex にも拡張されている。

• enriched (co)homology

逆に, simplicial complex \(K\) の Stanley-Reisner 環は次数付き可換環なので, \(\mathrm {Proj}\) を取って, 代数幾何学の手法で調べることもできる。 Christophersen らの [AC10; CI14] では Stanley-Reisner scheme と呼ばれている。

• Stanley-Reisner scheme

重心細分を行なったときの Stanley-Reisner 環に現われる効果について, Kubitzke と Welker が [KW08] で調べている。そこでは “multiplicity conjecture” が証明されている。

Stanley-Reisner 環と affine monoid の monoid ring を統一的に扱おうという試みが, Ichim-Römer により [IR07] で行なわれている。

Gröbner basis も combinatorial commutative algebra の主要な話題の一つである。

• Gröbner basis

Gröbner basis に関する本は数多いが, 凸多面体との関係について扱ったものとして, Sturmfels の [Stu96] がある。

Lev Borisov は, [Bor05] で higher Stanley-Reisner 環というものを定義しているが, それに対応する幾何学的 (組み合せ論的) な対象は何なのだろうか。

• higher Stanley-Reisner環

可換環と matroid との関係については, Brennan と Epstein の [BE11] の Introduction に, いくつかの文献が挙げられている。

References

[AC10]

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[BE11]

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[BG96]

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[Bor05]

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[BS98]

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[BWW05]

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[BWW09]

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[Flø07]

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[HT02]

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[IR07]

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[KW08]

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[MNS11]

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[MS05]

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[NPS02]

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[NS12]

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[Sch81]

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[Wac99]

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[Zaa09]

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