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量子群の基本 |
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Drinfeld [Dri87] と Jimbo [Jim85, Jim86] により発見された, Lie algebra の universal enveloping algebra の “quantum deformation” として定義される Hopf algebra が量子群の典型的な例である。 それは, Yang-Baxter 方程式の研究に端を発する らしい。
量子群の教科書もいくつか出ている。 例えば [Jan96, 道 90, CP95, BG02, Maj95, Maj02, Kas95, Fuc95, Lus93] などである。 Vaughan Jones の解説では subfactor との関連などについて書いてある。 Lie 群や代数群に関する概念を一般化して量子群に定義しようというのは自然な考え
である。 Quantized (q-deformed) universal enveloping algebra の prime および
primitive spectrum を考えているのは Chin-Krop の[CK] である。 Drinfeld と Jimbo は Lie 群の Lie algebra の universal enveloping algebra の deformation として量子群を考えたが, 代数群もしくは代数幾何の観点からは, 代数群上 の regular function の成す algebra の deformation (非可換版) というアプローチも考え られる。 実際 Reshetikhin と Takhtadzhyan と Faddeev の [RTF89] や Manin の [Man88] などがある。 Bernstein と Khovanova は [BK96] でその二つのアプローチを 𝔰𝔩q(2) について詳しく調べている。 他にも, De Concini と Lyubashenko が [DCL94] で complex semisimple connected simply connected affine algebraic group に対し, そ の quantum function algebra を定義している。 Gavarini の [Gav] の目的は, それらに対し Poincaré-Birkoff-Witt theorem が成り立つことを示すことで ある。 他にも, 関連した様々 な代数的構造の q-deformation が考えられている。 例えば N. Hu の [Hu] など。 量子群の “有限部分群” や McKay correspondence の q-analogue [KO02] も考えられ ている。 Drinfeld は quantum double (Drinfeld double) という操作を導入した。 古典群の量子群を考えるということは, 線型代数の量子化を考えている, ともみなせ る。 Gurevich と Pyatov と Saponov が [GPS] で Cayley-Hamilton の定理の quantum version を考えている。 以上は, universal enveloping algebra をもとにした量子群の定義であるが, これらは quantum group というより quantum Lie algebra あるいは quantum universal enveloping algebra と呼ぶべきものかもしれない。 非可換幾何学の立場では, (locally) compact Hausdorff 空間上の連続関数の成す環を元の空間と同一視するので, compact あるいは locally compact 群上の関数環の非可換化を考えるというのも自然なアイデア であり, それにより (locally) compact quantum group という概念が定義されて いる。 Locally compact 群に対する group von Neumann algebra の定義の quantum group 版もある。 Kustermans と Vaes の [KV03] にある。 References
[BG02] Ken A. Brown and Ken R. Goodearl. Lectures on algebraic quantum groups. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Birkhäuser Verlag, Basel, 2002. [BK96] Joseph Bernstein and Tanya Khovanova. On the quantum group SLq(2). Comm. Math. Phys., 177(3):691–708, 1996, arXiv:hep-th/9412056. [CK] William Chin and Leonid Krop. Spectra of quantized hyperalgebras, arXiv:math.QA/0403143. [CP95] Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley. A guide to quantum groups. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. [DCL94] Corrado De Concini and Volodimir Lyubashenko. Quantum function algebra at roots of 1. Adv. Math., 108(2):205–262, 1994. [Dri87] V. G. Drinfel′d. Quantum groups. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986), pages 798–820, Providence, RI, 1987. Amer. Math. Soc. [Fuc95] Jürgen Fuchs. Affine Lie algebras and quantum groups. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. [Gav] Fabio Gavarini. PBW theorems and Frobenius structures for quantum matrices, arXiv:math.QA/0610691. [GPS] D.I. Gurevich, P.N. Pyatov, and P.A. Saponov. Cayley-Hamilton theorem for quantum matrix algebras of GL(m|n) type, arXiv:math.QA/0412192. [GV93] Victor Ginzburg and Éric Vasserot. Langlands reciprocity for affine quantum groups of type An. Internat. Math. Res. Notices, (3):67–85, 1993. [Hu] Naihong Hu. q-Witt Algebras, q-Virasoro algebra, q-Lie Algebras, q-Holomorph Structure and Representations. Algebra Colloquium 6 (1) (1999), 51–70, arXiv:math.QA/0512526. [Jan96] Jens Carsten Jantzen. Lectures on quantum groups, volume 6 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. [Jim85] Michio Jimbo. A q-difference analogue of U(𝔤) and the Yang-Baxter equation. Lett. Math. Phys., 10(1):63–69, 1985. [Jim86] Michio Jimbo. A q-analogue of U(𝔤𝔩(N1)), Hecke algebra, and the Yang-Baxter equation. Lett. Math. Phys., 11(3):247–252, 1986. [Kas95] Christian Kassel. Quantum groups, volume 155 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995. [KO02] Alexander Kirillov, Jr. and Viktor Ostrik. On a q-analogue of the McKay correspondence and the ADE classification of 𝔰𝔩2 conformal field theories. Adv. Math., 171(2):183–227, 2002, arXiv:math/0101219. [KV03] Johan Kustermans and Stefaan Vaes. Locally compact quantum groups in the von Neumann algebraic setting. Math. Scand., 92(1):68–92, 2003, arXiv:math/0005219. [Lus93] George Lusztig. Introduction to quantum groups, volume 110 of Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 1993. [Maj95] Shahn Majid. Foundations of quantum group theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. [Maj02] Shahn Majid. A quantum groups primer, volume 292 of London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. [Man88] Yu. I. Manin. Quantum groups and noncommutative geometry. Université de Montréal Centre de Recherches Mathématiques, Montreal, QC, 1988. [RTF89] N. Yu. Reshetikhin, L. A. Takhtadzhyan, and L. D. Faddeev. Quantization of Lie groups and Lie algebras. Algebra i Analiz, 1(1):178–206, 1989. [Vas] Eric Vasserot. Affine quantum groups and equivariant K-theory, arXiv:math.QA/9803024. [道 90] 神保道夫. 量子群とヤン・ バクスター方程式. シュ プリンガー・ フェ アラーク東京, 東京, 1990. |
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