Lie algebra の基本

Lie algebra については, とりあえず, 以下のことを知っておくべきだろう。

• Lie algebra の定義
• Lie algebra の universal enveloping algebra
• restricted Lie algebra の定義
• restricted Lie algebra の universal enveloping algebra
• graded Lie algebra
• graded restricted Lie algebra
• Poincaré-Birkoff-Witt theorem

Restricted Lie algebra については, Milnor と Moore の Hopf algebra の論文 [MM65] でも触れられてはいるが, それだけだと分りづらい。 Jacobson の本 [Jac79] で補足するとよい。 May と Ponto の [MP12] の Chapter 23 にもまとめられている。

Universal enveloping algebra は (primitively generated) Hopf algebra の 構造を持つが, 元の Lie algebra が primitive element の成す Lie algebra と一致する。これに関しては, Milnor と Moore の有名な定理がある。

• Milnor-Moore theorem

Lie群とLie環の関係により, 単連結単純Lie群の分類は単純Lie環の分類に帰着される。 単純Lie環の分類については, Lie群やLie環の教科書に詳しい解説がある。

• 単純Lie環の分類 (\(A_n\), \(B_n\), \(C_n\), \(D_n\), \(G_2\), \(F_4\), \(E_6\), \(E_7\), \(E_8\))
• 単純Lie環の構成

\(G_2\), \(F_4\), \(E_6\), \(E_7\), \(E_8\) を例外型のLie環という。これらの構成は, 八元数に関係していて面白い。Deligne [Del96; DM96] によると, これらに \(A_1\), \(A_2\), \(D_4\) を加えたものには共通の性質があるらしい。ということは, この8個を「例外型」として共通に扱うべきなのだろうか。さらに, これらと vertex algebra や 有限単純群などとの関係について述べたものとして, Tuite の [Tui07] がある。

Wikipedia の記事によると, 他にも \(E_9\), \(E_{10}\) [GN95] などと呼ぶべきものがあるようである。 \(E_{7\frac {1}{2}}\) というものを考えている人 [LM06] もいる。

Tikaradze [Tik] によると, Lie algebra がその universal enveloping algebra で決定されるか, つまり2つの Lie algebra が同型な universal enveloping algebra を持つときに, 元の Lie algebra が同型か, という問題は, 一般の場合には widely open らしい。 この問題に関する survey として Usefi の [Use15] がある。

Tikaradze は, この論文で universal enveloping algebra の bounded derived category が同値の場合, 元の Lie algebra が同型になるか, という問題を考えている。

Restricted Lie algebra の分類については, Premet と Strade の [PS] という survey がある。それによると, 標数 \(p>3\) の代数的閉体上では, 有限次元 simple restricted Lie algebra は, classical Lie algebra, filtered Cartan type Lie algebra, Melikian algebra のどれかに分類されるらしい。

Lie algebra は, operad を用いて定義することもできる。 それにより, Lie algebra の概念が拡張できる。

• Lie algebra の変種や一般化

References

[Del96]

Pierre Deligne. “La série exceptionnelle de groupes de Lie”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 322.4 (1996), pp. 321–326.

[DM96]

Pierre Deligne and Ronald de Man. “La série exceptionnelle de groupes de Lie. II”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 323.6 (1996), pp. 577–582.

[GN95]

R. W. Gebert and H. Nicolai. “\(E_{10}\) for beginners”. In: Strings and symmetries (Istanbul, 1994). Vol. 447. Lecture Notes in Phys. Springer, Berlin, 1995, pp. 197–210. arXiv: hep-th/9411188. url: https://doi.org/10.1007/3-540-59163-X_269.

[Jac79]

Nathan Jacobson. Lie algebras. Republication of the 1962 original. New York: Dover Publications Inc., 1979, pp. ix+331. isbn: 0-486-63832-4.

[LM06]

J. M. Landsberg and L. Manivel. “The sextonions and \(E_{7\frac {1}{2}}\)”. In: Adv. Math. 201.1 (2006), pp. 143–179. arXiv: math/0402157. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.02.001.

[MM65]

John W. Milnor and John C. Moore. “On the structure of Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 211–264. url: http://dx.doi.org/10.2307/1970615.

[MP12]

J. P. May and K. Ponto. More concise algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Localization, completion, and model categories. Chicago, IL: University of Chicago Press, 2012, pp. xxviii+514. isbn: 978-0-226-51178-8; 0-226-51178-2.

[PS]

Alexander Premet and Helmut Strade. Classification of finite dimensional simple Lie algebras in prime characteristics. arXiv: math/0601380.

[Tik]

Akaki Tikaradze. On automorphisms of enveloping algebras. arXiv: 1705.08035.

[Tui07]

Michael P. Tuite. “The Virasoro algebra and some exceptional Lie and finite groups”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 3 (2007), Paper 008, 13. arXiv: math/0610322. url: http://dx.doi.org/10.3842/SIGMA.2007.008.

[Use15]

Hamid Usefi. “Isomorphism invariants of enveloping algebras”. In: Noncommutative rings and their applications. Vol. 634. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, pp. 253–265. arXiv: 1411.3734. url: https://doi.org/10.1090/conm/634/12704.