Poisson 多様体

その上の可微分関数の成す環が Poisson bracket を持つ, つまり Poisson algebra の構造を持つ多様体を Poisson 多様体という。 Symplectic 多様体は Poisson bracket を持つが, 物理学では symplectic ではない多様体も考える必要があり, 「(degenerate しているかもしれない) Poisson bracket を持つ多様体」という概念が必要になった。

Etingof の Calogero-Moser system についての講義録 [Eti] は, 古典力学と Poisson bracket の関係から解説してある。

Sternheimer の deformation quantization についての解説 [Ste98] では Bayen と Flato と Fronsdal と Lichnerowicz と Sternheimer の [Bay+78b; Bay+78a] が参照されている。

• deformation quantization

Symplectic 多様体については, 古くから geometric quantization という理論があるが, geometric quantization は物理の要請には応え切れない, らしい。 Poisson 多様体の deformation quantization が必要になる。それについては, まずは Kontsevich の論文 [Kon03] を見るべきだろう。

Poisson 多様体へは, Lie環の Poisson 作用を考えることができる。 Deformation quantization の視点からは “up to homotopy の作用”を考えるべき, というのが, Severa の [Šev06] である。そして, Lie環 \(\mathfrak{g}\) の up to homotopy action の圏が principal \(\mathfrak{g}^*\)-bundle の圏と同値であることを示している。

Severa は Weinstein と一緒に, [ŠW01] で Poisson structure の twisting を考えている。\(3\)次元の cocycle による twisting ということで, twisted \(K\)-theory と似ている。具体的にはどのような関係があるのだろうか。

Poisson 多様体の index theorem については, Dolgushev が [Dol07] で行なっているように代数的に扱うのが良いのだろうか。

Ping Xu は, [Xu91] で Poisson manifold の Morita 同値の理論を展開しているが, その元にあるのは, Poisson manifold と \(C^*\)-algebra の類似のようである。

Derived geometry の視点からは, Calaque, Pantev, Toën, Vaquie, Vezzosi [Cal+17] の shifted Poisson structure という一般化がある。

• shifted Poisson structure

References

[Bay+78a]

F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, and D. Sternheimer. “Deformation theory and quantization. I. Deformations of symplectic structures”. In: Ann. Physics 111.1 (1978), pp. 61–110.

[Bay+78b]

F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, and D. Sternheimer. “Deformation theory and quantization. II. Physical applications”. In: Ann. Physics 111.1 (1978), pp. 111–151.

[Cal+17]

Damien Calaque, Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi. “Shifted Poisson structures and deformation quantization”. In: J. Topol. 10.2 (2017), pp. 483–584. arXiv: 1506.03699.

[Dol07]

Vasiliy Dolgushev. “Formality theorem for Hochschild (co)chains of the algebra of endomorphisms of a vector bundle”. In: Math. Res. Lett. 14.5 (2007), pp. 757–767. arXiv: math/0608112. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2007.v14.n5.a4.

[Eti]

Pavel Etingof. Lectures on Calogero-Moser systems. arXiv: math/0606233.

[Kon03]

Maxim Kontsevich. “Deformation quantization of Poisson manifolds”. In: Lett. Math. Phys. 66.3 (2003), pp. 157–216. arXiv: q-alg/9709040. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf.

[Šev06]

Pavol Ševera. “Poisson actions up to homotopy and their quantization”. In: Lett. Math. Phys. 77.2 (2006), pp. 199–208. arXiv: math/0601331. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11005-006-0089-z.

[Ste98]

Daniel Sternheimer. “Deformation quantization: twenty years after”. In: Particles, fields, and gravitation (Łódź, 1998). Vol. 453. AIP Conf. Proc. Woodbury, NY: Amer. Inst. Phys., 1998, pp. 107–145. arXiv: math/9809056.

[ŠW01]

Pavol Ševera and Alan Weinstein. “Poisson geometry with a 3-form background”. In: Progr. Theoret. Phys. Suppl. 144 (2001). Noncommutative geometry and string theory (Yokohama, 2001), pp. 145–154. arXiv: math/0107133.

[Xu91]

Ping Xu. “Morita equivalence of Poisson manifolds”. In: Comm. Math. Phys. 142.3 (1991), pp. 493–509. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104248717.