Adams予想とImJそしてK理論に関する局所化

安定ホモトピー論に現われる周期性の内, 最初に注目された周期性は, \(K\)理論における Bott の周期性であった。 近代的な nilpotency 定理を理解するためにも, まず\(K\)理論と, 球面のホモトピー群の関係を理解しておくべきだろう。 何と, \(J\) homomorphism は, 数理物理でも登場する。 Freedman の [Fre12] である。

• \(J\) homomorphism \(J:\pi _{*}(\mathrm {SO})\to \pi _{*}^{S}(S^{0})\)

\(\Ima J\) は, 球面の安定ホモトピー群の中でも, 最も良く分かっている部分である。 基本的な文献として, まず Adams の一連の研究 [Ada63; Ada65a; Ada65b; Ada66] に目を通すべきだろう。 その主題である \(J(X)\) は, Adams [Ada63] によると, Atiyah [Ati61] により導入されたものである。

• \(J(X)\)
• Adams の \(e\)-invariant
• Adams conjecture

Adams 予想が証明されたおかげで, \(\Ima J\) が完全に決定された。 その Bernoulli数を用いた記述も含めた関連したことがらについては, Ravenel の本 [Rav03] の Chapter 1, section 1を読むとよい, と思う。

• \(\Ima J\) は, 球面の安定ホモトピー群の直和成分
• \(\Ima J\) と Bernoulli 数との関係

Adams予想には, いくつかの証明が知られている。Qullien [Qui71], Sullivan [Sul74], Becker と Gottlieb [BG75] などである。

Adams は, [Ada66] の中で, 奇素数 \(p\) に関し, mod \(p^{f}\) Moore 空間 の間の写像を定義し, それが \(K\)-theory の上で同型を誘導することを示した。 この写像から, \(\alpha \) family と呼ばれる球面のホモトピー群の元の族が得られるが, 現在の言葉で言うと, \(v_{1}\)周期的な部分を表す族である。 最も, \(\alpha \) family 自体は, Toda [Tod59] により導入されたものである。

• Adams map
• 球面のホモトピー群の \(\alpha \) family
• 球面の \(v_1\)周期的安定ホモトピー群

\(\Ima J\) が球面のホモトピー群の直和成分であることは, 空間レベルで実現できる。実際, \(\infty \)-loop space \(J\) として実現できる。そして, odd prime で localize すると, \(\Omega ^{\infty }S^{\infty }\) が \(J\) と「残り」の \(\mathrm {Coker} J\) という空間の直積に分解する。 私は, これらのことについて, May の一連の \(\infty \)-loop space の研究で知った。例えば, [May77] など。

• \(\infty \)-loop space \(J\)
• \(\mathrm {Coker} J\)

Peter May は, [May09] で \(\mathrm {Coker} J\) の\(1\)回 delooping は, bundle theoretic interpretation を持つが「ほとんど忘れ去られた」状態にあると言っている。

Adams 予想に現れる空間は, 全て \(\infty \)-loop space だから, spectrum レベルの Adams 予想を考えることもできる。

• stable Adams conjecture

Bhattacharya と Kitchloo の [BK22] によると, その証明を最初に announce したのは Friedlander と Seymour [FS77] であったが, 間違いがあったようである。 その後, Friedlander による証明 [Fri80] が出たが, それにも間違いがあった。その詳細については, Bhattacharya と Kichloo の論文の Appendix A に書かれている。彼等は, 新たに stable Adams conjecture の証明を発見した, と主張している。

\(v_{1}\)周期的な部分を理解するためには, 安定ホモトピー論的には, \(K\)-theory spectrum あるいは \(E(1)\) に関する局所化を考えるのが自然である。

• \(K\)-theoryに関する局所化

References

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