von Neumann algebra について簡潔にまとめたものとして, Halvorson (と Müger) の [HM]
の最初のsectionがある。これは “Handbook of the Philosophy of Physics” の中の quantum field
theory についての一つ章であるが。 教科書としては, [SZ79; Dix81] などだろうか。 V. Jones の web site から
download できる unpublished lecture note もよい。
von Neumann algebra とは, Hilbert 空間上の bounded operator の成す \(C^*\)-algebra の
\(*\)-subalgebra で, 単位元を含み, weak operator topology で closed なものである。この最後の条件は,
位相を用いずに完全に代数的に表わすことができる。
von Neumann algebra と代数的トポロジーの関係としては, まず \(L^2\) 不変量を知っておくべきだろう。そのためには, まず群に対する
group ring の拡張である group von Neumann algebra, そして von Neumann algebra 上の
module の dimension が必要になる。
- group von Neumann algebra
- von Neumann dimension
von Neumann dimension は error-correcting code に関する Manin と Marcolli の [MM]
でも使われている。
可換な \(C^{*}\)-algebra は全て compact Hausdorff 空間上の複素数値関数の成す環と同型になる, というのが,
有名なGel\('\)fand-Naimark duality であるが, 可換な von Neumann algebra も, ある measure space
の上の bounded measurable function の成す algebra として特徴付けられる。 これについては, Pavlov の
[Pav22] が詳しい。 このことから, 一般の von Neumann algebra を measure space の一般化として, 非可換幾何学
(非可換解析学?) の範疇で考えることもできる。
Center が自明なものを factor という。いくつかの型に分類されている。
Factor の unitary 群や automorphism group の位相については, Araki と Smith と Smith
[ASS71] や Popa と Takesaki [PT93] により調べられている。 Kuiper の定理の類似として, unitary
群がいつ可縮になるかというのは自然な問題である。Araki と Smith と Smith は, type \(\textrm {II}_1\) factor の unitary group は
operator norm topology で可縮ではなく, 基本群が \(\R \) であることを示している。 一方, Popa と Takesaki
は, かなりの type \(\mathrm {II}_1\) factor について, その unitary group は strong operator topology
で可縮になることを示している。
\(\textrm {II}_1\) factor の von Neumann algebra への inclusion を subfactor と言い, Bisch の [Bis] によると
Jones の [Jon83] は, その “Galois 理論”と考えられる, らしい。この Bisch の ICM 2002 の Proceedings は,
最近の subfactor の理論の状況を知るのによい。 Jones により [Jon21] で導入された, planar algebra という概念が
subfactor の不変量を計算するために有効らしい。
Subfactor と planar algebra については, Secret Blogging Seminar の Noah Snyder と
Emily Peters による一連の解説もある。
Subfactor とトポロジーの関係については, とりあえず, Müger の [Müg03a; Müg03b] と,
そこに挙げてある参考文献に目を通してみるとよい。Subfactor theory に現われる categorical structure について,
色々書いてある。
von Neumann algebra に起源を持つ代数的な条件で, 一般の環に定義されるようになったのものある。 von Neumann
regular などである。
Lars Kadison は, subfactor の理論の “Galois 理論” としての面に着目し, 代数的な面から “extension”
の理論を考えている。 [KN01] などである。
von Neumann algebra の many-objectification として von Neumann category や
\(W^*\)-category と呼ばれるものがある。
また von Neumann algebra に関連した概念として, conformal net というものがあるが, それに関連して
Henriques [Hen] が bicommutant category という概念を導入している。
Bicommutant category は von Neumann algebra の categorification と考えら
れるもののようである。Henriques は Penneys との共著 [HP17] で, fusion category から bicommutant
category を作る方法について述べている。
References
-
[ASS71]
-
Huzihiro Araki, Mi-soo Bae Smith, and Larry Smith. “On the
homotopical significance of the type of von Neumann algebra
factors”. In: Comm. Math. Phys. 22 (1971), pp. 71–88.
-
[Bis]
-
Dietmar Bisch. Subfactors and planar algebras. arXiv: math /
0304340.
-
[Dix81]
-
Jacques Dixmier. von Neumann algebras. Vol. 27. North-Holland
Mathematical Library. With a preface by E. C. Lance, Translated
from the second French edition by F. Jellett. Amsterdam:
North-Holland Publishing Co., 1981, pp. xxxviii+437. isbn:
0-444-86308-7.
-
[Hen]
-
André Henriques. What Chern-Simons theory assigns to a point.
arXiv: 1503.06254.
-
[HM]
-
Hans Halvorson and Michael Mueger. Algebraic Quantum Field
Theory. arXiv: math-ph/0602036.
-
[HP17]
-
André Henriques and
David Penneys. “Bicommutant categories from fusion categories”.
In: Selecta Math. (N.S.) 23.3 (2017), pp. 1669–1708. arXiv: 1511.
05226. url: https://doi.org/10.1007/s00029-016-0251-0.
-
[Jon21]
-
V. F. R. Jones. “Planar algebras, I”. In: New Zealand J.
Math. 52 (2021), pp. 1–107. arXiv: math / 9909027. url:
https://doi.org/10.53733/172.
-
[Jon83]
-
V. F. R. Jones. “Index for subfactors”. In: Invent. Math. 72.1
(1983), pp. 1–25. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01389127.
-
[KN01]
-
Lars Kadison and Dmitri Nikshych. “Hopf algebra actions
on strongly separable extensions of depth two”. In: Adv.
Math. 163.2 (2001), pp. 258–286. arXiv: math / 0107064. url:
http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2003.
-
[MM]
-
Yuri I. Manin and Matilde Marcolli. Error-correcting codes and
phase transitions. arXiv: 0910.5135.
-
[Müg03a]
-
Michael
Müger. “From subfactors to categories and topology. I. Frobenius
algebras in and Morita equivalence of tensor categories”. In: J. Pure
Appl. Algebra 180.1-2 (2003), pp. 81–157. arXiv: math/0111204.
url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00247-5.
-
[Müg03b]
-
Michael Müger. “From subfactors to categories and topology. II. The
quantum double of tensor categories and subfactors”. In: J. Pure
Appl. Algebra 180.1-2 (2003), pp. 159–219. arXiv: math/0111205.
url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00248-7.
-
[Pav22]
-
Dmitri Pavlov. “Gelfand-type
duality for commutative von Neumann algebras”. In: J. Pure Appl.
Algebra 226.4 (2022), Paper No. 106884, 53. arXiv: 2005.05284.
url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2021.106884.
-
[PT93]
-
Sorin Popa and Masamichi Takesaki. “The topological structure of
the unitary and automorphism groups
of a factor”. In: Comm. Math. Phys. 155.1 (1993), pp. 93–101. url:
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253201.
-
[SZ79]
-
Şerban Strătilă and László Zsidó. Lectures on von Neumann
algebras. Revision of the 1975 original, Translated from the
Romanian by Silviu Teleman. Editura Academiei, Bucharest;
Abacus Press, Tunbridge Wells, 1979, p. 478. isbn: 0-85626-109-2.
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