測度論

日本語の「幾何学」が何を意味するのかよく分からないが, 英語の geometry からは, 土地の測量を起源とする分野であることが分かる。 そこから, Euclid幾何学, 座標 (解析) 幾何学, 多様体と発展し, トポロジーという分野が生れた。

一方, 同じ測るということから, 解析学では測度 (measure) という概念が生れ, Lebesgue 積分などの理論の基礎となった。 測度論についてはたくさんの本が出版されていてどれが良いのかよく分からない。 最近のものでは, 例えば, Tao の lecture note [Tao11] がある。

もちろん, 幾何学的対象の面積や体積を調べるときには測度が必要になる。 そのような分野を, geometric measure theory と呼ぶらしい。 Schanuel の [Sch86] がある。そこでは, Federer の [Fed59] や Hadwiger の本 [Had57] が挙げられている。 Hadwiger の仕事は, 最近では Ghrist ら [BGW13] により, 応用トポロジーで使われている。

• geometric measure theory
• Hadwiger integral

Kriz と Pultr [KP14] は, 純粋に代数的に measure theory と Lebesgue 積分を扱う方法を考えていて “integration without points” と呼んでいる。

Category theory によるアプローチもある。

• categorical measure theory

トポロジーとの直接の関連としては, 例えば, Thurston の measure homology がある。

• measure homology

Geometric group theoryでは, measure equivalence という同値関係が考えられている。

トポロジーとの直接の関係ではないが, Borsuk-Ulam の定理などと関係があるのが, ham-sandwich theorem である。 \(\R ^n\) に \(n\)個の measurable subsets があると, それらを2等分する hyperplane が存在するという定理である。

• ham-sandwich theorem

References

[BGW13]

Y. Baryshnikov, R. Ghrist, and M. Wright. “Hadwiger’s Theorem for definable functions”. In: Adv. Math. 245 (2013), pp. 573–586. arXiv: 1203.6120. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.07.001.

[Fed59]

Herbert Federer. “Curvature measures”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959), pp. 418–491. url: https://doi.org/10.2307/1993504.

[Had57]

H. Hadwiger. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Berlin: Springer-Verlag, 1957, pp. xiii+312.

[KP14]

Igor Kriz and Aleš Pultr. “Categorical Geometry and Integration Without Points”. In: Appl. Categ. Structures 22.1 (2014), pp. 79–97. arXiv: 1101.3762. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-012-9295-2.

[Sch86]

Stephen H. Schanuel. “What is the length of a potato? An introduction to geometric measure theory”. In: Categories in continuum physics (Buffalo, N.Y., 1982). Vol. 1174. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1986, pp. 118–126. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0076939.

[Tao11]

Terence Tao. An introduction to measure theory. Vol. 126. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011, pp. xvi+206. isbn: 978-0-8218-6919-2. url: https://doi.org/10.1090/gsm/126.