Planar algebra

Planar algebra は, V. Jones により [Jon21] で導入された。 その動機は, subfactor を調べるためであったが, その後色々使い道が発見されているらしい。

Subfactor と planar algebra については, Secret Blogging Seminar の Noah Snyder と Emily Peters による 一連の解説もある。

Jones が [Jon21] で書いているように, planar algebra は planar operad を用いて定義するのが最も簡潔である。

• planar operad
• planar operad 上の algebra が planar algebra

Morrison と Peters と Snyder が [MPS10] で書いているように, planar operad は, 皿の上のスパゲッティーとミートボール (正確にはスパゲッティーで繋がったミートボール) であり, operad の構造は, ミートボールを皿と見なして代入することで定義される。もちろん, スパゲッティーがうまく繋がるようにしなければならないので, 対応するスパゲッティーの本数が合わないと代入できない。 つまり, colored operad や multicategory と呼ばれるものになっている。

Morrison らによると, planar algebra と同様の構造は, Kuperberg により [Kup96] で spider という名前で考えられているらしい。彼らは, 具体的に与えられた planar algebra を生成元と関係式で表すという問題を Kuperberg program と呼び, \(D_{2n}\) に対応する planar algebra について考えている。

抽象的に bicategory, より正確には pivotal strict \(2\)-category から planar algebra を構成することもできる。Ghosh の [Gho11] である。Subfactor から作られた planar algebra との関係は, [DGG14] で調べられている。

一般化や変種としては, 次のようなものが導入されている。

• \(A_2\)-planar algebra [EP10] と その上の module [EP11]
• circuit algebra [BD17]
• pivotal braided tensor category での planar algebra [HPT23]
• planar para algebra [JL17]
• lasagna algebra [MWW22]

Circuit algebra は, linear wheeled prop と同等であることが, Dancso と Halacheva と Robertson [SA20] により示されている。彼等は, [DHR] で, Kashiwara-Vergne group \(\mathbf {KV}\), \(\mathbf {KRV}\) や Grothendieck-Teichmüller group \(\mathbf {GRT}\) が circuit algebra の automorphism group として表せることを示している。

Lasagna algebra は, planar algebra の高次元版として, Morrison と Walker と Wedrich により [MWW22] の section 5で導入されたものである。

References

[BD17]

Dror Bar-Natan and Zsuzsanna Dancso. “Finite type invariants of w-knotted objects II: tangles, foams and the Kashiwara-Vergne problem”. In: Math. Ann. 367.3-4 (2017), pp. 1517–1586. arXiv: 1405.1955. url: https://doi.org/10.1007/s00208-016-1388-z.

[DGG14]

Paramita Das, Shamindra Kumar Ghosh, and Ved Prakash Gupta. “Perturbations of planar algebras”. In: Math. Scand. 114.1 (2014), pp. 38–85. arXiv: 1009.0186. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-16639.

[DHR]

Zsuzsanna Dancso, Iva Halacheva, and Marcy Robertson. A topological characterisation of the Kashiwara-Vergne groups. arXiv: 2106.02373.

[EP10]

David E. Evans and Mathew Pugh. “\(A_2\)-planar algebras I”. In: Quantum Topol. 1.4 (2010), pp. 321–377. arXiv: 0906.4225. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/8.

[EP11]

David E. Evans and Mathew Pugh. “\(A_2\)-planar algebras II: Planar modules”. In: J. Funct. Anal. 261.7 (2011), pp. 1923–1954. arXiv: 0906.4311. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2011.05.023.

[Gho11]

Shamindra Kumar Ghosh. “Planar algebras: a category theoretic point of view”. In: J. Algebra 339 (2011), pp. 27–54. arXiv: 0810.4186. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.04.017.

[HPT23]

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[JL17]

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[Jon21]

V. F. R. Jones. “Planar algebras, I”. In: New Zealand J. Math. 52 (2021), pp. 1–107. arXiv: math / 9909027. url: https://doi.org/10.53733/172.

[Kup96]

Greg Kuperberg. “Spiders for rank \(2\) Lie algebras”. In: Comm. Math. Phys. 180.1 (1996), pp. 109–151. arXiv: q-alg/9712003. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104287237.

[MPS10]

Scott Morrison, Emily Peters, and Noah Snyder. “Skein theory for the \(D_{2n}\) planar algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.2 (2010), pp. 117–139. arXiv: 0808.0764. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.04.010.

[MWW22]

Scott Morrison, Kevin Walker, and Paul Wedrich. “Invariants of 4-manifolds from Khovanov-Rozansky link homology”. In: Geom. Topol. 26.8 (2022), pp. 3367–3420. arXiv: 1907 . 12194. url: https://doi.org/10.2140/gt.2022.26.3367.

[SA20]

Colin Shea-Blymyer and Houssam Abbas. “A deontic logic analysis of autonomous systems’ safety”. In: HSCC2020—Proceedings of the 23rd International Conference on Hybrid Systems: Computation and Control. ACM, New York, [2020] ©2020, p. 11. arXiv: 2009. 0738. url: https://doi.org/10.1145/3365365.3382203.