von Neumann Categories or W∗-categories

\(C^*\)-algebra の many-objectification として \(C^*\)-category を考えたのは, Ghez と Lima と Roberts の[GLR85] であるが, 彼等はその中で \(W^*\)-category という, von Neumann algebra の many-objectification となる概念を定義している。というより, こちらが主題であるが。 これは, M. Farber が独立に [Far98] で定義した von Neumann category と同じもののようである。 ややこしいことに, Blute と Comeau [BC15] が別の von Neumann category という概念を導入している。混同するといけないので, Ghez-Lima-Roberts と Farber のものを \(W^*\)-category と呼ぶことにしよう。

Ghez, Lima, Roberts によると, 以下のようなところで自然に現われるようである:

• groupoid の表現
• 群の von Neumann algebra への作用
• 作用素環の研究に現われる non-Abelian cohomology

一方, Farber は, \(L^2\) 不変量の研究から \(W^*\)-category の概念に辿り着いたようである。

Blute と Comeau [BC15] の von Neumann category も von Neumann algebra の category 化を目的として導入されたものであるが, 彼等は monoidal structure を弱めた premonoidal structure という構造をを要求している。

References

[BC15]

Richard Blute and Marc Comeau. “Von Neumann categories”. In: Appl. Categ. Structures 23.5 (2015), pp. 725–740. arXiv: 1209.0124. url: https://doi.org/10.1007/s10485-014-9375-6.

[Far98]

Michael Farber. “von Neumann categories and extended \(L^2\)-cohomology”. In: \(K\)-Theory 15.4 (1998), pp. 347–405. arXiv: dg-ga/9610016. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007778529430.

[GLR85]

P. Ghez, R. Lima, and J. E. Roberts. “\(W^\ast \)-categories”. In: Pacific J. Math. 120.1 (1985), pp. 79–109. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102703884.