Conformal Nets

Conformal net という概念がある。\(S^1\) 上の open interval に対し, von Neumann algebra を対応させる規則であり, \(S^1\) 上の open interval の成す poset 上で定義された functor と思うことができる。

Longo や Xu ら [KLM01; KLX05; DX06] により, orbifold 上の conformal field theory を調べるのに用いられている。

より一般に, ある種の algebra の category に値を持つものも考えられている。 例えば, net of \(C^{*}\)-algebra [RV14] など。

• net of von Neumann algebras
• net of (topological) algebras

一方, conformal field theory を構成する方法として, vertex operator algebra の表現を用いる方法もある。その vertex operator algebra との関係については, Carpi, Kawahigashi, Longo, Weiner の [Car+] がある。 Kawahigashi の lecture note [Kaw15] も見るとよい。

これらの文献では, Hilbert空間 \(H\) を fix し, \(B(H)\) に含まれる von Neumann algebra だけを考えているが, Bartels と Chris Douglas と Henriques の [BDH] では, Hilbert 空間を指定しない “coordinate free version” が定義されている。また, conformal net を object とする tricategory が構成されている。更に, [BDH17] では, conformal net に対し conformal block の成す bundle が定義されている。

Chris Douglas と Henriques [DH11] は, elliptic cohomology の構成に用いようとしている。

References

[BDH]

Arthur Bartels, Christopher L. Douglas, and André G. Henriques. Conformal nets and local field theory. arXiv: 0912.5307.

[BDH17]

Arthur Bartels, Christopher L. Douglas, and André Henriques. “Conformal nets II: Conformal blocks”. In: Comm. Math. Phys. 354.1 (2017), pp. 393–458. arXiv: 1409 . 8672. url: https://doi.org/10.1007/s00220-016-2814-5.

[Car+]

Sebastiano Carpi, Yasuyuki Kawahigashi, Roberto Longo, and Mihály Weiner. From vertex operator algebras to conformal nets and back. arXiv: 1503.01260.

[DH11]

Christopher L. Douglas and André G. Henriques. “Topological modular forms and conformal nets”. In: Mathematical foundations of quantum field theory and perturbative string theory. Vol. 83. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, pp. 341–354. arXiv: 1103.4187. url: https://doi.org/10.1090/pspum/083/2742433.

[DX06]

Chongying Dong and Feng Xu. “Conformal nets associated with lattices and their orbifolds”. In: Adv. Math. 206.1 (2006), pp. 279–306. arXiv: math/0411499. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2005.08.009.

[Kaw15]

Yasuyuki Kawahigashi. “Conformal field theory, tensor categories and operator algebras”. In: J. Phys. A 48.30 (2015), pp. 303001, 57. arXiv: 1503.05675. url: https://doi.org/10.1088/1751-8113/48/30/303001.

[KLM01]

Yasuyuki Kawahigashi, Roberto Longo, and Michael Müger. “Multi-interval subfactors and modularity of representations in conformal field theory”. In: Comm. Math. Phys. 219.3 (2001), pp. 631–669. arXiv: math/9903104. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00005565.

[KLX05]

Victor G. Kac, Roberto Longo, and Feng Xu. “Solitons in affine and permutation orbifolds”. In: Comm. Math. Phys. 253.3 (2005), pp. 723–764. arXiv: math/0312512. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-004-1160-1.

[RV14]

Giuseppe Ruzzi and Ezio Vasselli. “The \(C_0(X)\)-algebra of a net and index theory”. In: J. Funct. Anal. 267.1 (2014), pp. 112–143. arXiv: 1212. 2801. url: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2014.04.010.