Triangulated Category

Triangulated category は, chain complex の圏の ホモトピー圏のようなものである。 環 \(R\) 上の chain complex の圏でホモロジーの同型を誘導する写像 (quasi-isomorphism) を形式的に可逆にしてできる圏は, \(R\) の derived category と呼ばれ, Verdier の1967年の thesis [Ver96] 以来, 代数幾何学を始めとした様々な分野で調べられてきた。 その抽象化が triangulated category である。

一方, 代数的トポロジーで, Verdier とは独立に Puppe が triangulated category の公理を発見している。 安定ホモトピー圏が, triangulated category を成すからである。

代数とトポロジーで研究されてきたことは, 実はかなりの部分で overlap がある。 例えば, 環 \(R\) の derived category とは, \(R\) に係数を持つ Eilenberg-Mac Lane スペクトラム \(HR\) 上の module spectrum の圏のホモトピー圏に過ぎない。 Krause が, 2004年7月 Chicago で行なわれた “Interactions between Homotopy Theory and Algebra” という Summer School の講演録を [Kra07] として公開しているので, それを参考にするとよい。

• 安定ホモトピー論からホモロジー代数に導入された概念
• ホモロジー代数的構成のホモトピー論的な類似

しかしながら, 代数的な起源を持つ triangulated category とトポロジーに起源を持つ triangulated category には大きな違いがある。mod \(2\) Moore space の存在である。 代数的な triangulated category には mod \(2\) Moore space のような object は存在しないのである。 このことについては, Schwede の [Sch10; Sch] をみるとよい。

\(C^*\)-algebra の \(K\)-theory のように, 代数とトポロジーの両方の性格を持つ分野でも triangulated category が使われるようになってきた。 当然と言えば当然であるが。Meyer と Nest の [MN06] など。

• derived category
• triangulated category に関する基本的な事柄
• autoequivalence の成す群
• monoidal (tensor) triangulated category

扱い易い triangulated category の class として, compactly generated なものがあるが, その一般化として Neeman [Nee01] が well-generated triangulated category という概念を導入している。 その特徴付けが, Krause [Kra01] により与えられている。

• compactly generated triangualted category
• well-generated triangulated category

Neeman の Canonaco と Stellari との共著による [CNS] の Introduction では, triangulated category を調べる際に最も有用なテクニックとして, triangulated category の生成と共に \(t\)-structure が挙げられている。

• \(t\)-structure

この論文は, approximable triangulated category と weakly approximable triangulated category の survey であるが, それは Neeman が [Neeb] で compact generator と \(t\)-structure を用いて定義した概念である。Neeman による approximable triangulated category の survey [Neea] もある。

• approximable triangulated category
• weakly approximable triangulated category

もっとも, model category を知っている人間から見ると, triangulated category の定義はあまりにも単純化されすぎている, という印象を持つ。 具体的な構成を行うのに不便である。 実際, 代数的トポロジーでは、 spectrum に対して 位相空間に対して行うのと同様の構成, そして, 代数的な構成の類似を行いたいという欲求から, 安定ホモトピー圏の元になっている spectrum の category が model category や stable \(\infty \)-category として構成されている。

このように, triangulated category の元になっているより豊富な情報を含んだものを定義しようという試みは, 代数的トポロジーだけでなく triangulated category が用いられる様々な分野で行われている。 このようなものを triangulated category の enhancement と呼ぶ。

• enhanced triangulated category

もっとも, triangulated category 上に model structure を定義することもできる。

• model structures on triangulated categories and their generalizations

代数幾何学や 表現論で登場する triangulated category は, 1つの代数多様体や環からできるものであり, 代数的トポロジーの安定ホモトピー圏のように, 研究対象となる幾何学的対象を全て含むようなものとはかなり趣きが異なる。 また, triangulated category を「代数多様体や環の代わり」に考え, その不変量を定義したり, ということが行なわれている。

• invariants of triagulated category

Dimitrov, Haiden, Katzarkov, Kontsevich は [Dim+14] で triangulated category と 曲面の類似を指摘し, Thurston による曲面上の 力学系の類似を考えることを提案している。 Woolf の [Woo] にある表を見るとよい。

Triangulated category の一般化や変種も色々と導入されている。

• generalizations and variations of triangulated categories

References

[CNS]

Alberto Canonaco, Amnon Neeman, and Paolo Stellari. Weakly approximable triangulated categories and enhancements: a survey. arXiv: 2407.05946.

[Dim+14]

G. Dimitrov, F. Haiden, L. Katzarkov, and M. Kontsevich. “Dynamical systems and categories”. In: The influence of Solomon Lefschetz in geometry and topology. Vol. 621. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 133–170. arXiv: 1307.8418. url: https://doi.org/10.1090/conm/621/12421.

[Kra01]

Henning Krause. “On Neeman’s well generated triangulated categories”. In: Doc. Math. 6 (2001), 121–126 (electronic).

[Kra07]

Henning Krause. “Derived categories, resolutions, and Brown representability”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 101–139. arXiv: math/0511047. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08405.

[MN06]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “The Baum-Connes conjecture via localisation of categories”. In: Topology 45.2 (2006), pp. 209–259. arXiv: math/0312292. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.07.001.

[Neea]

Amnon Neeman. Approximable triangulated categories. arXiv: 1806.06995.

[Neeb]

Amnon Neeman. Triangulated categories with a single compact generator and a Brown representability theorem. arXiv: 1804.02240.

[Nee01]

Amnon Neeman. Triangulated categories. Vol. 148. Annals of Mathematics Studies. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2001, pp. viii+449. isbn: 0-691-08685-0; 0-691-08686-9.

[Sch]

Stefan Schwede. Topological triangulated categories. arXiv: 1201.0899.

[Sch10]

Stefan Schwede. “Algebraic versus topological triangulated categories”. In: Triangulated categories. Vol. 375. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010, pp. 389–407. arXiv: 0807.2592.

[Ver96]

Jean-Louis Verdier. “Des catégories dérivées des catégories abéliennes”. In: Astérisque 239 (1996). With a preface by Luc Illusie, Edited and with a note by Georges Maltsiniotis, xii+253 pp. (1997).

[Woo]

Jon Woolf. Mass-growth of triangulated auto-equivalences. arXiv: 2109.13163.