安定ホモトピー論からホモロジー代数に導入された概念

Spectrum の圏が整備されたことにより, (ホモロジー) 代数的構成が spectrum でできるようになり, 安定ホモトピー論が, より一層代数的になったのは, 1990年代である。 当然, 逆の方向, つまり安定ホモトピー論で導入された概念を triangulated categoryなど, ホモロジー代数に導入しようという動きもある。

Bökstedt と Neeman の論文 [BN93] の冒頭に

と書かれていることからも分かるように, この方向の研究は, Neeman に依るところが大きい。もちろん他にも algebraic analogue を考えた人はいる。 重要なのは, Hopkins の [Hop87] だろう。

Bökstedt と Neeman の [BN93] は, triangulated category での homotopy colimit を考えたものである。 Sequential なものだけであるが。 Neeman は, [Nee92a] で, Brown の表現定理の類似を考えている。

Freyd の generating hypothesis も derived category などでの類似が考えられている。

• generating hypothesis

より新しいものとしては, Neeman の [Nee92b] が重要だろう。 Hopkins が [Hop87] の最後に述べた, 安定ホモトピー圏での periodic phenomema の代数的な類似の証明を与えるものである。現在では, Hopkins-Neeman theorem と呼ばれているようである。

• Hopkins-Neeman theorem

Hopkins らの仕事では, Bousfield localization が重要な役割を果しているが, Bousfield class が集合を成すという Ohkawa の定理 [Ohk89] については, Iyengar と Krause [IK] が compactly generated triangulated category での類似を得ている。

• Bousfield localiztion

Hopkins らの仕事の元になったのは, Ravenel が [Rav84] で述べた一連の予想である。その中の予想1.33の類似について , Keller [Kel94] が, 環のderived categoryでは成り立たないことを示している。

Ravenel の論文で中心的な役割を果し, しかし一般には成り立たないことが示されてしまったのが telescope conjecture であるが, Krause と Šťovíček [KŠ10] が, hereditary ring の derived category では成り立つことを示している。

References

[BN93]

Marcel Bökstedt and Amnon Neeman. “Homotopy limits in triangulated categories”. In: Compositio Math. 86.2 (1993), pp. 209–234. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1993__86_2_209_0.

[Hop87]

Michael J. Hopkins. “Global methods in homotopy theory”. In: Homotopy theory (Durham, 1985). Vol. 117. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987, pp. 73–96.

[IK]

Srikanth B. Iyengar and Henning Krause. The Bousfield lattice of a triangulated category and stratification. arXiv: 1105.1799.

[Kel94]

Bernhard Keller. “A remark on the generalized smashing conjecture”. In: Manuscripta Math. 84.2 (1994), pp. 193–198. url: https://doi.org/10.1007/BF02567453.

[KŠ10]

Henning Krause and Jan Šťovı́ček. “The telescope conjecture for hereditary rings via Ext-orthogonal pairs”. In: Adv. Math. 225.5 (2010), pp. 2341–2364. arXiv: 0810.1401. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.04.027.

[Nee92a]

Amnon Neeman. “The Brown representability theorem and phantomless triangulated categories”. In: J. Algebra 151.1 (1992), pp. 118–155. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(92)90135-9.

[Nee92b]

Amnon Neeman. “The chromatic tower for \(D(R)\)”. In: Topology 31.3 (1992). With an appendix by Marcel Bökstedt, pp. 519–532. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(92)90047-L.

[Ohk89]

Tetsusuke Ohkawa. “The injective hull of homotopy types with respect to generalized homology functors”. In: Hiroshima Math. J. 19.3 (1989), pp. 631–639. url: http://projecteuclid.org/euclid.hmj/1206129296.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.