Moore 空間や Moore spectrum

係数環が \(\Z /p\Z \) であるホモロジー \(H_*(X;\Z /p\Z )\) は, \(p\) が素数のときは, \(\Z \)係数のホモロジー \(H_*(X;\Z )\) より扱い易く, それと Bockstein 作用素を用いることにより, \(H_*(X;\Z )\) の \(p\)-torsion を調べることができる。

ホモトピー群で最初に同様のことを考えたのは, F.P. Peterson であり, 現在 Moore 空間と呼ばれている空間を用いて, 任意の Abel群に係数を持つホモトピー群を定義 [Pet56] した。

• Abel 群 \(G\) に対し type \((G,n)\) の Moore 空間
• Abel 群に係数を持つホモトピー群

Moore 空間自体は, J.C. Moore の論文 [Moo54] に現れたのが最初ではないか, と思う。Moore は, この論文で既に球面の double suspension の homotopy fiber と mod \(p\) Moore空間の関連について言及しており, 後の Cohen-Moore-Neisendorfer の仕事の布石になっているのがわかる。

Moore 空間の記号には様々なものがある。 Eilenberg-Mac Lane 空間との類似 (双対性) を強調するときは, type \((G,n)\) のMoore空間を \(M(G,n)\) と書くことが多い。非安定ホモトピー論では, \(G\) が巡回群 \(\Z /n\Z \) の場合を考えることが多く, その場合 mod \(n\) Moore空間といい, \(m\)次元のものを \(P^m(n)\) と表わす。 ここで \[ P^m(n) = M(\Z /n\Z ,m-1) \] であることに注意する。

安定ホモトピー論における chromatic な視点からは, 奇素数 \(p\) に対する mod \(p\) Mooreスペクトラム は, 球面スペクトラムの次に考えるべき研究対象, つまり type \(1\) complex である。要するに, mod \(p\) Moore 空間と \(K\)理論との間に密接な関係があるということであり, これに関してはAdamsの研究 [Ada66] が出発点である。\(2\)-primary な場合は, 少し修正が必要であるが。

• Abel 群 \(G\) に対し type \((G,n)\) の Moore スペクトラム
• 奇素数 \(p\) に対し, mod \(p\) Moore空間上のAdams map
• 奇素数\(p\)については, Adams map は \[ P^{2p}(p) \longrightarrow P^3(p) \] まで desuspend できるが, それ以上は, desuspend できないこと。 [CN86]

mod \(p\) Moore space が, \(p=2\) の時に奇素数と異なる行動をとることは, Schwede が [Sch10] で述べているように, 安定ホモトピー圏と chain complex のような代数的に起源を持つ triangulated category との一つの違いを表している。

もっとも, 一般の triagulated category で Moore spectrum の類似を構成しようという試みもある。Pauksztello の [Pau10] である。

奇素数での mod \(p\) Moore space 上の Adams map は, \(\mathrm {BP}\)-homology 上では \(v_1\) 倍と対応している。そして, 安定ホモトピー圏では, そのcofiber \(V(1)\) 上に \(p\ge 5\) で \(v_2\) に対応する写像が存在する。これをより一般化した, いわゆる Toda-Smith complex \(V(n)\) や, 更に一般的な type \(n\) complex の概念が, 安定ホモトピー圏の大域的構造を考える際に, 重要な役割を果している。

• Toda-Smith spectra and type \(n\) generalized Moore spectra

\(V(1)\) は mod \(p\) Moore spectrum の間の Adams map の homotopy cofiber (mapping cone) として作るが, その存在と密接に関係しているのが, Moore spectrum の積の存在である。

• mod \(2\) Moore spectrum は単位元を持つ積を持たない。
• mod \(3\) Moore spectrum は, homotopy associative な積を持たない。 [Tod68]
• mod \(p\) Moore spectrum は \(A_{p-1}\)-structure を持つが, \(A_{p}\)-structure を持たない。
• mod \(2^{i}\) Moore spectrum は \(A_{3}\)-structure を持つ。 [Oka84]

これらの結果以降, Moore spectrum の higher homotopy associativity については進歩が無かったが, 最近 Bhattcharya ら [Bha22; BK22] により大きく進展している。 Moore spectrum を, 現代的な方法で spectrum の morphism の Thom spectrum として表し, その写像が \(A_{n}\)-map になるための条件を調べている。

また, higher homotopy commutativity, つまり \(E_{n}\)-structure については, Burklund が [Bur] で調べている。例えば, mod \(8\) Moore spectrum が \(E_{1}\), つまり \(A_{\infty }\)-structure を持つ, mod \(32\) Moore spectrum が \(E_{2}\)-strucure を持つ, 奇素数 \(p\) に対しては mod \(p^{n+1}\) Moore spectrum が \(E_{n}\)-structure を持つことが示されている。

Daniel Davis と Lawson [DL14] は, このような type \(n\) complex の tower で, その limit が sphere spectrum になっているものを考え, それが pro-spectrum の圏では, \(E_{\infty }\)-ring spectrum の構造を持つことを示している。 上記の \(V(n)\)上の \(v_{n+1}\) の存在は, \(V(n)\) の積構造の存在と深く関係しているため, この Davis と Lawson の結果は, pro-object として考えると, これらの obstruction が消えていることを示していて, 興味深い。

安定ホモトピー圏の object として考える場合には問題にはならないが, Moore スペクトラムを空間列として表現しようとすると, いくつかの選択肢があり, そのどれも重要である。 これが, unstable な chromatic phenomena を研究する際の一つの困難になっている。

例えば, 次のようなものがある。

• mod \(p\) Moore空間の列 \(\{P^n(p)\}_{n\ge 2}\)
• 奇数次元球面の double suspension \(S^{2n-1} \rarrow {E^2} \Omega ^2 S^{2n+1}\) の homotopy fiber \(W(n)\) を用いる。
• Gray の EHP スペクトラム [Gra93a; Gra93b] として実現する。

まず, 最も基本的なのは, mod \(p\) Moore 空間の列として表わすことである。 mod \(p\) ホモトピー群と mod \(p\) Moore 空間については, Neisendorfer の研究 [Nei80] が, 基本的である。 この中で以下のことが調べられている。

• mod \(p\) Moore空間 の smash product の分解
• mod \(p\) Hurewicz の定理
• mod \(p\) Samelson product

これらを基にして, Cohen と Moore と Neisendorfer は, 一連の論文 [CMN79a; CMN79c; CMN79b; CMN87] で, Moore空間のループ空間の性質を調べ, 球面のホモトピー群の exponent など, 重要な結果を得ている。

• ホモトピー群の exponent の問題

その後, Cohen-Moore-Neisendorfer の研究を引き継ぐ形で, Anick [Ani93], Neinsedorfer [Nei99], Theriault [The01b; The01a; The03b; The03a] らが Moore 空間のループ空間の分解を研究している。

これらの研究, 特に Cohen-Moore-Neisendorfer と Anick の研究に現われた空間や写像をうまく組み合わせると, EHP列の類似が構成できることに, B. Gray は気がついた。それを一般化するプログラムを述べたのが, [Gra93a; Gra93b] である。

• \(S^{2n+1}\{p^k\}\)
• \(T^{2n+1}\{p^k\}\)

Grbic は, より一般の \(2\)-cell complexについて, [Grb06] で “universal space” を構成している。それは, Moore space のときには, \(S^{2n+1}\{p^k\}\) になるものである。

References

[Ada66]

J. F. Adams. “On the groups \(J(X)\). IV”. In: Topology 5 (1966), pp. 21–71. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(66)90004-8.

[Ani93]

David Anick. Differential algebras in topology. Vol. 3. Research Notes in Mathematics. Wellesley, MA: A K Peters Ltd., 1993, pp. xxvi+274. isbn: 1-56881-001-6.

[Bha22]

Prasit Bhattacharya. “Higher associativity of Moore spectra”. In: Adv. Math. 402 (2022), Paper No. 108319, 26. arXiv: 1607.02702. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2022.108319.

[BK22]

Prasit Bhattacharya and Nitu Kitchloo. “The stable Adams conjecture and higher associative structures on Moore spectra”. In: Ann. of Math. (2) 195.2 (2022), pp. 375–420. arXiv: 1803.11014. url: https://doi.org/10.4007/annals.2022.195.2.1.

[Bur]

Robert Burklund. Multiplicative structures on Moore spectra. arXiv: 2203.14787.

[CMN79a]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Decompositions of loop spaces and applications to exponents”. In: Algebraic topology, Aarhus 1978 (Proc. Sympos., Univ. Aarhus, Aarhus, 1978). Vol. 763. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1979, pp. 1–12.

[CMN79b]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “The double suspension and exponents of the homotopy groups of spheres”. In: Ann. of Math. (2) 110.3 (1979), pp. 549–565. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971238.

[CMN79c]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Torsion in homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 109.1 (1979), pp. 121–168. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971269.

[CMN87]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Exponents in homotopy theory”. In: Algebraic topology and algebraic \(K\)-theory (Princeton, N.J., 1983). Vol. 113. Ann. of Math. Stud. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1987, pp. 3–34.

[CN86]

F. R. Cohen and J. A. Neisendorfer. “Note on desuspending the Adams map”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 99.1 (1986), pp. 59–64. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100063921.

[DL14]

Daniel G. Davis and Tyler Lawson. “Commutative ring objects in pro-categories and generalized Moore spectra”. In: Geom. Topol. 18.1 (2014), pp. 103–140. arXiv: 1208 . 4519. url: https://doi.org/10.2140/gt.2014.18.103.

[Gra93a]

Brayton Gray. “\(EHP\) spectra and periodicity. I. Geometric constructions”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 340.2 (1993), pp. 595–616. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154668.

[Gra93b]

Brayton Gray. “\(EHP\) spectra and periodicity. II. \(\Lambda \)-algebra models”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 340.2 (1993), pp. 617–640. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154669.

[Grb06]

Jelena Grbić. “Universal spaces of two-cell complexes and their exponent bounds”. In: Q. J. Math. 57.3 (2006), pp. 355–366. arXiv: math/0601282. url: https://doi.org/10.1093/qmath/hai015.

[Moo54]

John C. Moore. “On homotopy groups of spaces with a single non-vanishing homology group”. In: Ann. of Math. (2) 59 (1954), pp. 549–557. url: https://doi.org/10.2307/1969718.

[Nei80]

Joseph Neisendorfer. “Primary homotopy theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 25.232 (1980), pp. iv+67. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0232.

[Nei99]

Joseph Neisendorfer. “Product decompositions of the double loops on odd primary Moore spaces”. In: Topology 38.6 (1999), pp. 1293–1311. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(98)00055-X.

[Oka84]

Shichirô Oka. “Multiplicative structure of finite ring spectra and stable homotopy of spheres”. In: Algebraic topology, Aarhus 1982 (Aarhus, 1982). Vol. 1051. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1984, pp. 418–441. url: https://doi.org/10.1007/BFb0075582.

[Pau10]

David Pauksztello. “Generalised Moore spectra in a triangulated category”. In: Manuscripta Math. 133.3-4 (2010), pp. 347–372. arXiv: 0903. 5232. url: https://doi.org/10.1007/s00229-010-0374-0.

[Pet56]

Franklin P. Peterson. “Generalized cohomotopy groups”. In: Amer. J. math. 78 (1956), pp. 259–281.

[Sch10]

Stefan Schwede. “Algebraic versus topological triangulated categories”. In: Triangulated categories. Vol. 375. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010, pp. 389–407. arXiv: 0807.2592.

[The01a]

Stephen D. Theriault. “Anick’s spaces and the double loops of odd primary Moore spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 353.4 (2001), pp. 1551–1566. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02622-2.

[The01b]

Stephen D. Theriault. “Properties of Anick’s spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 353.3 (2001), pp. 1009–1037. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02623-4.

[The03a]

Stephen D. Theriault. “Homotopy decompositions involving the loops of coassociative co-\(H\) spaces”. In: Canad. J. Math. 55.1 (2003), pp. 181–203. url: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-2003-008-5.

[The03b]

Stephen D. Theriault. “Proofs of two conjectures of Gray involving the double suspension”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 131.9 (2003), 2953–2962 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-03-06847-3.

[Tod68]

Hirosi Toda. “Extended \(p\)-th powers of complexes and applications to homotopy theory”. In: Proc. Japan Acad. 44 (1968), pp. 198–203. url: http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195521243.