安定ホモトピー論でのスペクトラム

スペクトラムという用語は, 数学の様々な分野で全く異なる意味で使われている。 ここでは, 安定ホモトピー論の基本的な研究対象である, スペクトラムを考える。

Pontryagin-Thom construction により, コボルディズム群はある空間列の ホモトピー群の極限 (colimit) と同一視できる。 その際にスペクトラムという概念を用いると, Thom spectrum のホモトピー群としてすっきりと表わすことができる。 この素朴なスペクトラムの定義は, Lima により導入された [Lim58; Lim59] ものである。

スペクトラムについては, 私は Adams の [Ada74] で学んだ。 今でも, とりあえず最初はこの Adams の本を読むのが良いように思う。 最近, TeXromancers というグループにより \(\TeX \) 化され, ここから download できるようになった。 日本語だと荒木の [荒木捷75] や河野と玉木の [KT06] ぐらいしかない。

空間レベルで考えるときには, 無限ループ空間との対応が基本的である。 よって無限ループ空間が作れれば, スペクトラムが作れたことになる。1970年代には, そのための infinite loop machine が各種開発された。

ただし, 古典的な空間列としてのスペクトラムでは色々不都合な点があるので, 現代の安定ホモトピー論では, Elmendorf-Kriz-Mandell-May の spectrumsymmetric spectrum などのモデルが使われている。ただ, その構成は Lima による素朴なものよりかなり複雑になっている。

このように, symmetric monoidal category として spectrum の圏を構築できると, それにより enrich された small category を考えることができるようになる。それを, spectral category と呼ぶ。 Chain complex の圏で enrich された small category, つまり dg category は, 現代のホモロジー代数で重要な役割を果しているが, その精密化のために spectral category を用いることもできるようになった。

(コ)ホモロジー論には, equivariant 版twisted 版などの変種があるが, それらについても対応する spectrum がある。 Pro-object は pro-spectrum と呼ばれ, 例えば, Kronheimerと Manolescu の [KM] などで使われている。

鎖複体に対し, double chain complex あるいは bicomplex があるように, spectrum に対して2重次数付きの bispectrum を考えることもできる。Garkushaと Neshitov の [GN] で使われている。

Lima による spectrum の定義では, suspension しか使われていないので, 基点 付き空間の圏以外でも類似の構造は定義できる。そして, motivic homotopy theory などで, 実際にそのような構成は必要とされている。

例えば, Schwede [Sch97] は pointed simplicial model category での spectrum の category を model category として構成している。

より一般には, Hovey の [Hov01] がある。その Introduction では, “ stabilization” の歴史についてかなり詳しく述べられている。 Hovey の論文では, Lima type の spectrum だけでなく symmetric spectrum の類似についても定義されている。

References

[Ada74]

J. F. Adams. Stable homotopy and generalised homology. Chicago, Ill.: University of Chicago Press, 1974, p. x 373.

[GN]

Grigory Garkusha and Alexander Neshitov. Fibrant resolutions for motivic Thom spectra. arXiv: 1804.07621.

[Hov01]

Mark Hovey. “Spectra and symmetric spectra in general model categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 165.1 (2001), pp. 63–127. arXiv: math/0004051. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(00)00172-9.

[KM]

Peter B. Kronheimer and Ciprian Manolescu. Periodic Floer pro-spectra from the Seiberg-Witten equations. arXiv: math/0203243.

[KT06]

Akira Kono and Dai Tamaki. Generalized cohomology. Vol. 230. Translations of Mathematical Monographs. Translated from the 2002 Japanese edition by Tamaki, Iwanami Series in Modern Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006, pp. xii+254. isbn: 0-8218-3514-9. url: https://doi.org/10.1090/mmono/230.

[Lim58]

Elon Lages Lima. DUALITY AND POSTNIKOV INVARIANTS. Thesis (Ph.D.)–The University of Chicago. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1958, (no paging).

[Lim59]

Elon L. Lima. “The Spanier-Whitehead duality in new homotopy categories”. In: Summa Brasil. Math. 4 (1959), 91–148 (1959).

[Sch97]

Stefan Schwede. “Spectra in model categories and applications to the algebraic cotangent complex”. In: J. Pure Appl. Algebra 120.1 (1997), pp. 77–104. url: https://doi.org/10.1016/S0022-4049(96)00058-8.

[荒木捷75]

荒木捷朗. 一般コホモロジー. Vol. 4. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1975.