Delooping Machine

May のrecognition principle のように, ある空間 \(X\) が \(n\)重ループ空間であることを示すということは, \[ X \simeq \Omega ^nB^nX \] となる空間 \(B^nX\) を作ることである。このようなものを systematic に作る方法を delooping machine と言ったりする。

\(n\)重ループ空間については, Badzioch と Chung と Voronov [BCV07] によって, 新しい delooping machine が発見されている。

  • Badzioch-Chung-Voronov machine

より一般の写像空間 \(\mathrm {Map}(A,X)\) について, \(A\) がある条件をみたせば, そのような写像空間を detect する Lawvere theory が存在することを, Sartwell [Sar] が示している。特に, 素数で localize した球面で使えるようである。

無限ループ空間の場合は, delooping machine は connective spectrum を作るものであり, infinite loop machine と呼ばれる。 特に, algebraic \(K\)-theory の要請から, 1970年代に様々な infinite loop machine が発見された。 積構造を含めたものもある。 最近も新しいものが発見されている。

  • Segal の \(\Gamma \)-space
  • permutative category による May の infinite loop machine
  • bipermutative category と \(E_{\infty }\)-ring space ([May09])
  • fibered symmetric bimonoidal category と \(E_{\infty }\)-ring spectrum ([Gom])
  • commutative \(\mathbb {I}\)-monoid を用いたもの (Adem, Gómez, Lind, Tillmann の [Ade+17])
  • symmetric monoidal bicategory に基づいたもの (Osorno の [Oso12])
  • multicategory [JY]

May と Thomason により, 古典的な infinite loop machine は同等であることが示されている。また, Thomason は, 全ての connective spectrum, つまり infinite loop space が symmetric monoidal category で実現できることを [Tho95] で示している。Mandell [Man10] による構成もある。

Spectrum の category は symmetric monoidal structure を持つことから, symmetric monoidal category の category に, 対応する symmetric monoidal structure があるだろうと考えるのは自然である。 それについては, Schmitt の [Sch] がある。 Gurski と Johnson と Osorno [GJO17] は symmetric monoidal category を symmetric monoidal bicategory に拡張している。それでもできるのは connective spectrum の category であるが。そのような拡張を考える理由は, 自然に現れる例が 2-categorical な構造を持つから, だそうである。

Lydakis の構成 [Lyd99] は, \(\F _1\) 上の代数幾何に使えるようである。Connes と Consani [CC16] は, 基点付 き集合の圏の \(\Gamma \)-object の圏の monoid object を Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] に従って \(S\)-algebra と呼んで, それを用いて \(\Spec (\Z )\) のコンパクト化を定義している。

Adem ら [Ade+17] は, \(\mathrm {BU}\) などの \(K\)-theory に関係した infinite loop space に, infinite loop spaceによる filtrationを 定義するための道具として commutative \(\mathbb {I}\)-monoidを用いている。 更に ring spectrum を得るための commutative \(\mathbb {I}\)-rig という構造も考えている。

\(1\)重loop machine, つまり delooping machine の一意性については, Thomason の結果がある。

  • 各種 infinite loop machine が同等であること。[MT78]
  • (\(1\)重) delooping machine の一意性 [Tho79]

Segal の \(\Gamma \)-space とよく似た手法で generalized Eilenberg-Mac Lane 空間を特徴付ける [Bad01] こともできる。より一般に algebraic theory というものを用いて, 各種のホモトピー構造を特徴付けるという試みがある。Badzioch の [Bad02; Bad05] である。

群の作用を考えるために, \(\Gamma \)-space の equivariant版も考えられている。例えば, Shimakawa の [Shi89] や Santhanamの [San11], Bergner と Hackney の [BH17], そして Ostermayr の [Ost16] などがある。Ostermayr によると Segal 自身も考えていたようである。未発表であるが。 Santhanam は, model category の構造を考えている。Ostermayr は, monoidal structure を考えている。

  • equivariant \(\Gamma \)-space

Ostermayr [Ost16] は equivariant \(\Gamma \)-space の category が, equivariant connective symmetric spectrum の categoryと (適当な model structure の下で) Quillen 同値であることを示しているが, Santhanam [San] は, equivariant connective orthogonal spectrum の categoryとも Quillen同値であることを示している。

\(n\)重 delooping machine は, 基点付き位相空間の圏から\(n\)重ループ空間の圏への \(\Omega ^n\) という functor の逆である。よって\(n\)重 delooping machine を考える際には, \(n\)重ループ空間の圏をまず理解することが重要である。C. Berger は, [Ber07] で\(n\)重ループ空間の圏のモデルとなる圏の公理と なるべき条件を考えている。その際, (co)simplicial object を定義するときの small category \(\Delta \) の iterated wreath product である \(\Theta _n\) という small category を用いている。これは Joyal の preprint により導入されたものらしい。

Heuts は, [Heu] で \(\infty \)-operad に対する拡張を考えている。Operad に関連したものとしては, Bašić と Nikolaus の [BN14] による dendroidal set を用いたものもある。 彼等は, dendroidal set の圏に model structure を定義し, そのホモトピー圏が connective spectrum のホモトピー圏と同値であることを示している。よって, 任意の無限ループ空間が dendroidal set を用いて構成できるこ とになる。

References

[Ade+17]

Alejandro Adem, José Manuel Gómez, John A. Lind, and Ulrike Tillmann. “Infinite loop spaces and nilpotent K-theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.2 (2017), pp. 869–893. arXiv: 1503.02526. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.869.

[Bad01]

Bernard Badzioch. “Recognition principle for generalized Eilenberg-Mac Lane spaces”. In: Cohomological methods in homotopy theory (Bellaterra, 1998). Vol. 196. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2001, pp. 21–26. arXiv: math/0110100.

[Bad02]

Bernard Badzioch. “Algebraic theories in homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 155.3 (2002), pp. 895–913. arXiv: math/0110101. url: http://dx.doi.org/10.2307/3062135.

[Bad05]

Bernard Badzioch. “From \(\Gamma \)-spaces to algebraic theories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 357.5 (2005), 1779–1799 (electronic). arXiv: math/0306010. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03711-0.

[BCV07]

Bernard Badzioch, Kuerak Chung, and Alexander A. Voronov. “The canonical delooping machine”. In: J. Pure Appl. Algebra 208.2 (2007), pp. 531–540. arXiv: math/0403098. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.01.014.

[Ber07]

Clemens Berger. “Iterated wreath product of the simplex category and iterated loop spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 230–270. arXiv: math/0512575. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.006.

[BH17]

Julia E. Bergner and Philip Hackney. “Diagrams encoding group actions on \(\Gamma \)-spaces”. In: Manifolds and \(K\)-theory. Vol. 682. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2017, pp. 39–50. arXiv: 1212.4542. url: https://doi.org/10.1090/conm/682.

[BN14]

Matija Bašić and Thomas Nikolaus. “Dendroidal sets as models for connective spectra”. In: J. K-Theory 14.3 (2014), pp. 387–421. arXiv: 1203.6891. url: https://doi.org/10.1017/is014005003jkt265.

[CC16]

Alain Connes and Caterina Consani. “Absolute algebra and Segal’s \(\Gamma \)-rings: au dessous de \(\overline {\mathrm {Spec}(\Z )}\)”. In: J. Number Theory 162 (2016), pp. 518–551. arXiv: 1502.05585. url: https://doi.org/10.1016/j.jnt.2015.12.002.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[GJO17]

Nick Gurski, Niles Johnson, and Angélica M. Osorno. “\(K\)-theory for 2-categories”. In: Adv. Math. 322 (2017), pp. 378–472. arXiv: 1503. 07824. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.10.011.

[Gom]

Jose Manuel Gomez. From fibered symmetric bimonoidal categories to symmetric spectra. arXiv: 0905.3156.

[Heu]

Gijs Heuts. An infinite loop space machine for infinity-operads. arXiv: 1112.0625.

[JY]

Niles Johnson and Donald Yau. Multicategories Model All Connective Spectra. arXiv: 2111.08653.

[Lyd99]

Manos Lydakis. “Smash products and \(\Gamma \)-spaces”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 126.2 (1999), pp. 311–328. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004198003260.

[Man10]

Michael A. Mandell. “An inverse \(K\)-theory functor”. In: Doc. Math. 15 (2010), pp. 765–791. arXiv: 1002.3622.

[May09]

J. P. May. “The construction of \(E_{\infty }\) ring spaces from bipermutative categories”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 283–330. arXiv: 0903. 2818. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.283.

[MT78]

J. P. May and R. Thomason. “The uniqueness of infinite loop space machines”. In: Topology 17.3 (1978), pp. 205–224. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(78)90026-5.

[Oso12]

Angélica M. Osorno. “Spectra associated to symmetric monoidal bicategories”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.1 (2012), pp. 307–342. arXiv: 1005.2227. url: https://doi.org/10.2140/agt.2012.12.307.

[Ost16]

Dominik Ostermayr. “Equivariant \(\Gamma \)-spaces”. In: Homology Homotopy Appl. 18.1 (2016), pp. 295–324. arXiv: 1404 . 7626. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2016.v18.n1.a16.

[San]

Rekha Santhanam. A short treatise on Equivariant Gamma spaces. arXiv: 1505.02894.

[San11]

Rekha Santhanam. “Units of equivariant ring spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.3 (2011), pp. 1361–1403. arXiv: 0912.4346. url: https://doi.org/10.2140/agt.2011.11.1361.

[Sar]

Matthew Sartwell. A \(P\)-local Delooping Machine. arXiv: 1510.08404.

[Sch]

Vincent Schmitt. Tensor product for symmetric monoidal categories. arXiv: 0711.0324.

[Shi89]

Kazuhisa Shimakawa. “Infinite loop \(G\)-spaces associated to monoidal \(G\)-graded categories”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 25.2 (1989), pp. 239–262. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195173610.

[Tho79]

R. W. Thomason. “Uniqueness of delooping machines”. In: Duke Math. J. 46.2 (1979), pp. 217–252. url: http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077313403.

[Tho95]

R. W. Thomason. “Symmetric monoidal categories model all connective spectra”. In: Theory Appl. Categ. 1 (1995), No. 5, 78–118 (electronic).