様々な凸多面体

多面体は, やはり具体的な例で遊ぶのが楽しい。

\(2\) 次元の場合は, 多角形であり3次元以上とは様相が異なる。 例えば, 正多角形は無限個の種類がある。

多面体に親しむためには, \(\R ^3\) の中の正多面体や半正多面体について, 絵を描いたり, 計算してみたりするのが良いのではないだろうか。

「何を計算するのか」と思うかもしれないが, 例えば一松の [一松信02] を見れば, 計算する量がいろいろあることが分かるだろう。

この一松の本では, 半正多面体は, 準正多面体と呼ばれているが, 英語では semiregular polytope なので, 半正多面体と呼ぶのがよいだろう。と, いうことは, 2018年度卒業研究のメンバーの指摘で気がついた。

また, 幾何学的対象として扱う際には, やはり分類をしたくなる。

特異ホモロジーやホモトピー論の基礎として必要になるのは, 単体であるが, ほぼ同様のことは立方体でもできる。

正単体の最も簡単な構成法は, 正規直交基底を成すベクトルの終点の convex hull を取る, というものである。\(n\)次元の単体を作るために \(\R ^{n+1}\) で考えなければならないのが欠点であるが。

この構成法で, 単位ベクトルではなく, 座標が\(1\)を\(k\)個, \(0\) を \(n-k\)個を持つベクトルを考えると, hypersimplex という種類の凸多面体ができる。 正単体は, \(k=1\) の場合である。

  • hypersimplex \(\Delta _{k,n}\)

Hypersimplex については, [LP07] で Lam と Postnikov が詳しく調べている。彼等以前に, Stanley (Foata の [Foa77] の comment) と Sturmfels [Stu96] が hypersimplex のうまい triagulation を与えているが, Lam と Postnikov は更に\(2\)種類の triangulation を与えている。 それらは全て identical であることが示されていて, そのことから hypersimplex に関する様々な情報が取り出せることが示されている。

ホモトピー論 (それ以外でも) で重要なものは permutohedron と associahedron だろう。関連したものとして cyclohedron がある。他にも, 関連した多面体の族は色々構成されている。

これら3種類を含めた一般化を reflection group の視点から解説したものとして, Hohlweg の [Hoh12] がある。

Fukaya category に関係した abstract polytope として, Bottman [Bot19] が導入した \(2\)-associahedron があるが, それに関連した凸多面体として Bottman と Poliakova が [BP] で constrainahedron という多面体の族を導入している。

  • constrainahedron

Permutohedron は zonotope という種類の多面体になっている。 立方体の affine map による像として定義されるが, いくつかの線分の Minkowski sum で得られる多面体と言っても良い。 hyperplane arrangement とも関連がある。Ziegler の本 [Zie95] の §7.3 に書かれている。Lattice zonotope について解説としては, Braun と Vindas-Meléndez の [BV19] がある。

  • zonotope

多面体ではないが, zonotope の Hausdorff metric に関する極限は zonoid と呼ばれている。Braides と Chambolle [BC] は, Schneider の本 [Sch14] を参照している。

  • zonoid

Permutahedron に associate した hyperplane arrangement は, braid arrangement である。Braid arragement の deformation で得られる permutahedron の一般化について, [Ath99] で調べられている。 Zonotope に関連したことについては, Holz と Ron の [HR11] で zonotopal algebra の理論として調べられている。Xu との [HRX12] もある。

有限次元ベクトル空間の部分群で, 自由アーベル群であるものを lattice という が, 頂点が全て lattice 上にあるものを lattice polytope という。 Regular lattice polytope の分類については, Karpenkov の [Kar06] や Ressayre-Montagard の [MR09] で分類されている。

平行移動で 内部が交わることなく Euclid 空間全体を覆うことができる多面体は, Garber らの [Gar11; GGM15] では, parallelohedron と呼ばれている。

  • parallelohedron

Gel\('\)fand と Kapranov とZelevinsky [GKZ94] によって Euclid空間の point configuration から構成された凸多面体は secondary polytope と呼ばれ, 様々な分野に登場する。

最近では, Kapranov と Kontsevich と Soibelman の [KKS16] で Gaiotto と Witten と Moore による 物理 での構成を一般化するのに用いられている。

グラフから作られる多面体も様々なものがある。

グラフから作られた多面体と関連深いものとして, 有限距離空間から定義される fundamental polytope あるいは Kantorovich-Rubinstein polytope と呼ばれるものがある。

組み合せ論的構造としては, poset から作られた polytope もある。

有限群の実ベクトル空間への作用があると, 原点以外の点の orbit の convex hull として凸多面体が定義される。Collins と Perkinson の [CP] など。 より一般に, compact algebraic group の作用の orbit の convex hull を考えているのは, Sanyal と Sottile と Sturmfels [SSS11] である。 彼らはそのようなものを orbitope と呼んでいる。

  • orbitope

群から作られるものとしては, Friedl-Tillmann polytope [FT20] というものもある。2つの元で生成され1つの関係式を持ち, Abel化 \(G/[G,G]=H_{1}(G;\Z )\) が \(\Z \oplus \Z \) のとき, \(H_{1}(G;\R )\cong \R ^{2}\) の中の凸多面体 (多角形) として構成される。 Friedl, Lück, Tillmann [FLT19] による virtual polytope としての構成もある。

  • Friedl-Tillmann polytope

具体的に頂点を指定して定義される多面体として, cyclic polytope がある。 古くから調べられているものであるが, その単体分割と higher Auslander-Reiten theory との関係が Oppermann と Thomas [OT12] により発見された。他にも, 表現論に関係した多面体は, 色々ある。

Transportation polytope は, 様々な問題に関連した多面体ようである。

  • transportation polytope

De Loera と Kim の survey [DK14] によると, operations reasearch や mathematical programming では良く知られたものらしい。 Kim の thesis [Kim10] の§1.4 にも概要がある。

以下に, 他に目にした「名前の付いた」多面体の例を挙げる。

  • centrally symmetric polytope [Kal89]
  • Hanner polytope [Han56]
  • projectively unique polytope [BGT22]
  • Pogorelov polytope [Pog67; And70; Ero21]
  • harmonic polytopes [AE21]
  • shard polytopes [PPR21]
  • isocanted alcoved polytope [PC20]
  • polypositroid [LP24]
  • inside-out polytope [BZ06]
  • pruned inside-out polytope [Reh22]
  • conditionally decomposable polytopes [WY]
  • Feigin-Fourier-Littlemann polytope [FFL11]
  • \(d\)-majorization polytope [ED22]
  • agrarian polytope [FT20; HK20]
  • cosmological polytope [ABP]
  • split network polytope [DDF20]
  • partial alternating sign matrix polytope [HS21]
  • matching field polytope [CHM22]
  • Chan-Robbins-Yuen polytope [CRY00]
  • sweep polytope or shellotope [PP24; GS93]

References

[ABP]

Nima Arkani-Hamed, Paolo Benincasa, and Alexander Postnikov. Cosmological Polytopes and the Wavefunction of the Universe. arXiv: 1709.02813.

[AE21]

Federico Ardila and Laura Escobar. “The harmonic polytope”. In: Selecta Math. (N.S.) 27.5 (2021), Paper No. 91, 31. arXiv: 2006.03078. url: https://doi.org/10.1007/s00029-021-00687-6.

[And70]

E. M. Andreev. “Convex polyhedra in Lobačevskiı̆ spaces”. In: Mat. Sb. (N.S.) 81 (123) (1970), pp. 445–478.

[Ath99]

C. A. Athanasiadis. “Piles of cubes, monotone path polytopes, and hyperplane arrangements”. In: Discrete Comput. Geom. 21.1 (1999), pp. 117–130. arXiv: math/9701207. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00009404.

[BC]

Andrea Braides and Antonin Chambolle. Ising systems, measures on the sphere, and zonoids. arXiv: 2305.11054.

[BGT22]

Tristram Bogart, João Gouveia, and Juan Camilo Torres. “An algebraic approach to projective uniqueness with an application to order polytopes”. In: Discrete Comput. Geom. 67.2 (2022), pp. 462–491. arXiv: 2005.00640. url: https://doi.org/10.1007/s00454-021-00347-8.

[Bot19]

Nathaniel Bottman. “2-associahedra”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.2 (2019), pp. 743–806. arXiv: 1709.00119. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.743.

[BP]

Nathaniel Bottman and Daria Poliakova. Constrainahedra. arXiv: 2208.14529.

[BV19]

Benjamin Braun and Andrés R. Vindas-Meléndez. “A brief survey on lattice zonotopes”. In: Algebraic and geometric combinatorics on lattice polytopes. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2019, pp. 101–116. arXiv: 1808.04933.

[BZ06]

Matthias Beck and Thomas Zaslavsky. “Inside-out polytopes”. In: Adv. Math. 205.1 (2006), pp. 134–162. arXiv: math/0309330. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2005.07.006.

[CHM22]

Oliver Clarke, Akihiro Higashitani, and Fatemeh Mohammadi. “Combinatorial mutations and block diagonal polytopes”. In: Collect. Math. 73.2 (2022), pp. 305–335. arXiv: 2010.04079. url: https://doi.org/10.1007/s13348-021-00321-w.

[CP]

John Collins and David Perkinson. Frobenius polytopes. arXiv: 1102.0988.

[CRY00]

Clara S. Chan, David P. Robbins, and David S. Yuen. “On the volume of a certain polytope”. In: Experiment. Math. 9.1 (2000), pp. 91–99. arXiv: math/9810154. url: http://projecteuclid.org/euclid.em/1046889594.

[DDF20]

Satyan L. Devadoss, Cassandra Durell, and Stefan Forcey. “Split network polytopes and network spaces”. In: Sém. Lothar. Combin. 82B (2020), Art. 68, 12. arXiv: 1905.11225.

[DK14]

Jesús A. De Loera and Edward D. Kim. “Combinatorics and geometry of transportation polytopes: an update”. In: Discrete geometry and algebraic combinatorics. Vol. 625. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 37–76. arXiv: 1307.0124. url: https://doi.org/10.1090/conm/625/12491.

[ED22]

Frederik vom Ende and Gunther Dirr. “The \(d\)-majorization polytope”. In: Linear Algebra Appl. 649 (2022), pp. 152–185. arXiv: 1911.01061. url: https://doi.org/10.1016/j.laa.2022.05.005.

[Ero21]

Nikolai Yu. Erokhovets. “\(B\)-rigidity of the property to be an almost Pogorelov polytope”. In: Topology, geometry, and dynamics—V. A. Rokhlin-Memorial. Vol. 772. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., [Providence], RI, [2021] ©2021, pp. 107–122. arXiv: 2004.04873. url: https://doi.org/10.1090/conm/772/15484.

[FFL11]

Evgeny Feigin, Ghislain Fourier, and Peter Littelmann. “PBW filtration and bases for symplectic Lie algebras”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 24 (2011), pp. 5760–5784. arXiv: 1010.2321. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnr014.

[FLT19]

Stefan Friedl, Wolfgang Lück, and Stephan Tillmann. “Groups and polytopes”. In: Breadth in contemporary topology. Vol. 102. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019, pp. 57–77. arXiv: 1611.01857.

[Foa77]

Dominique Foata. “Distributions eulériennes et mahoniennes sur le groupe des permutations”. In: Higher combinatorics (Proc. NATO Advanced Study Inst., Berlin, 1976). Vol. 31. NATO Adv. Study Inst. Ser., Ser. C: Math. Phys. Sci. With a comment by Richard P. Stanley. Dordrecht: Reidel, 1977, pp. 27–49.

[FT20]

Stefan Friedl and Stephan Tillmann. “Two-generator one-relator groups and marked polytopes”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 70.2 (2020), pp. 831–879. arXiv: 1501.03489. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2020__70_2_831_0.

[Gar11]

Alexey Garber. “The second Voronoi conjecture on parallelohedra for zonotopes”. In: Mosc. J. Comb. Number Theory 1.2 (2011), pp. 33–39. arXiv: 1104.0401.

[GC50]

I. M. Gel\('\)fand and M. L. Cetlin. “Finite-dimensional representations of the group of unimodular matrices”. In: Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.) 71 (1950), pp. 825–828.

[GGM15]

A. Garber, A. Gavrilyuk, and A. Magazinov. “The Voronoi conjecture for parallelohedra with simply connected \(\delta \)-surfaces”. In: Discrete Comput. Geom. 53.2 (2015), pp. 245–260. arXiv: 1212.1019. url: https://doi.org/10.1007/s00454-014-9660-z.

[GKZ94]

I. M. Gel\('\)fand, M. M. Kapranov, and A. V. Zelevinsky. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1994, pp. x+523. isbn: 0-8176-3660-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4771-1.

[GS93]

Peter Gritzmann and Bernd Sturmfels. “Minkowski addition of polytopes: computational complexity and applications to Gröbner bases”. In: SIAM J. Discrete Math. 6.2 (1993), pp. 246–269. url: https://doi.org/10.1137/0406019.

[Han56]

Olof Hanner. “Intersections of translates of convex bodies”. In: Math. Scand. 4 (1956), pp. 65–87. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-10456.

[HK20]

Fabian Henneke and Dawid Kielak. “The agrarian polytope of two-generator one-relator groups”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 102.2 (2020), pp. 722–748. arXiv: 1912.04650. url: https://doi.org/10.1112/jlms.12334.

[Hoh12]

Christophe Hohlweg. “Permutahedra and associahedra: generalized associahedra from the geometry of finite reflection groups”. In: Associahedra, Tamari lattices and related structures. Vol. 299. Prog. Math. Phys. Birkhäuser/Springer, Basel, 2012, pp. 129–159. arXiv: 1112.3255. url: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0405-9_8.

[HR11]

Olga Holtz and Amos Ron. “Zonotopal algebra”. In: Adv. Math. 227.2 (2011), pp. 847–894. arXiv: 0708.2632. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.02.012.

[HRX12]

Olga Holtz, Amos Ron, and Zhiqiang Xu. “Hierarchical zonotopal spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.2 (2012), pp. 745–766. arXiv: 0910.5543. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2011-05329-8.

[HS21]

Dylan Heuer and Jessica Striker. “Partial permutation and alternating sign matrix polytopes”. In: Sém. Lothar. Combin. 85B (2021), Art. 35, 12. arXiv: 2012.09901.

[Kal89]

Gil Kalai. “The number of faces of centrally-symmetric polytopes”. In: Graphs Combin. 5.1 (1989), pp. 389–391. url: https://doi.org/10.1007/BF01788696.

[Kar06]

Oleg Karpenkov. “Classification of lattice-regular lattice convex polytopes”. In: Funct. Anal. Other Math. 1.1 (2006), pp. 17–35. arXiv: math/0602193. url: https://doi.org/10.1007/s11853-007-0002-z.

[Kim10]

Edward Dong Huhn Kim. Geometric combinatorics of transportation polytopes and the behavior of the simplex method. Thesis (Ph.D.)–University of California, Davis. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2010, p. 183. isbn: 978-1124-22305-6. arXiv: 1006.2416.

[KKS16]

M. Kapranov, M. Kontsevich, and Y. Soibelman. “Algebra of the infrared and secondary polytopes”. In: Adv. Math. 300 (2016), pp. 616–671. arXiv: 1408.2673. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.03.028.

[Lit98]

P. Littelmann. “Cones, crystals, and patterns”. In: Transform. Groups 3.2 (1998), pp. 145–179. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01236431.

[LP07]

Thomas Lam and Alexander Postnikov. “Alcoved polytopes. I”. In: Discrete Comput. Geom. 38.3 (2007), pp. 453–478. arXiv: math/0501246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-006-1294-3.

[LP24]

Thomas Lam and Alexander Postnikov. “Polypositroids”. In: Forum Math. Sigma 12 (2024), Paper No. e42, 67. arXiv: 2010.07120. url: https://doi.org/10.1017/fms.2024.11.

[Lus90]

G. Lusztig. “Canonical bases arising from quantized enveloping algebras”. In: J. Amer. Math. Soc. 3.2 (1990), pp. 447–498. url: http://dx.doi.org/10.2307/1990961.

[MR09]

Pierre-Louis Montagard and Nicolas Ressayre. “Regular lattice polytopes and root systems”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 41.2 (2009), pp. 227–241. arXiv: math/0609809. url: https://doi.org/10.1112/blms/bdn120.

[NZ97]

Toshiki Nakashima and Andrei Zelevinsky. “Polyhedral realizations of crystal bases for quantized Kac-Moody algebras”. In: Adv. Math. 131.1 (1997), pp. 253–278. url: https://doi.org/10.1006/aima.1997.1670.

[OT12]

Steffen Oppermann and Hugh Thomas. “Higher-dimensional cluster combinatorics and representation theory”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 14.6 (2012), pp. 1679–1737. arXiv: 1001.5437. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/345.

[PC20]

María Jesús de la Puente and Pedro Luis Clavería. “Isocanted alcoved polytopes”. In: Appl. Math. 65.6 (2020), pp. 703–726. arXiv: 2009.13858. url: https://doi.org/10.21136/AM.2020.0373-19.

[Pog67]

A. V. Pogorelov. “Regular decomposition of the Lobačevskiı̆ space”. In: Mat. Zametki 1 (1967), pp. 3–8.

[PP24]

Arnau Padrol and Eva Philippe. “Sweeps, polytopes, oriented matroids, and allowable graphs of permutations”. In: Combinatorica 44.1 (2024), pp. 63–123. arXiv: 2102.06134. url: https://doi.org/10.1007/s00493-023-00062-3.

[PPR21]

Arnau Padrol, Vincent Pilaud, and Julian Ritter. “Shard polytopes”. In: Sém. Lothar. Combin. 85B (2021), Art. 11, 12. arXiv: 2007.01008.

[Reh22]

Sophie Rehberg. “Pruned inside-out polytopes, combinatorial reciprocity theorems and generalized permutahedra”. In: Electron. J. Combin. 29.4 (2022), Paper No. 4.36, 31. arXiv: 2103.09073. url: https://doi.org/10.37236/10371.

[Sch14]

Rolf Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. expanded. Vol. 151. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 2014, pp. xxii+736. isbn: 978-1-107-60101-7.

[SSS11]

Raman Sanyal, Frank Sottile, and Bernd Sturmfels. “Orbitopes”. In: Mathematika 57.2 (2011), pp. 275–314. arXiv: 0911.5436. url: https://doi.org/10.1112/S002557931100132X.

[Ste22]

Christian Steinert. “A diagrammatic approach to string polytopes”. In: Algebr. Comb. 5.1 (2022), pp. 63–91. arXiv: 2011.12003. url: https://doi.org/10.5802/alco.196.

[Stu96]

Bernd Sturmfels. Gröbner bases and convex polytopes. Vol. 8. University Lecture Series. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996, pp. xii+162. isbn: 0-8218-0487-1.

[WY]

Jie Wang and David Yost. Conditionally decomposable polytopes. arXiv: 2102.10868.

[Žel73]

D. P. Želobenko. Compact Lie groups and their representations. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 40. Translated from the Russian by Israel Program for Scientific Translations. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1973, pp. viii+448.

[Zie95]

Günter M. Ziegler. Lectures on polytopes. Vol. 152. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. x+370. isbn: 0-387-94365-X. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8431-1.

[一松信02]

一松信. 正多面体を解く. TOKAI LIBRARY. 東京: 東海大学出版会, 2002, p. 170. isbn: 4486015878.