様々な凸多面体

多面体は, やはり具体的な例で遊ぶのが楽しい。 まずは \(\R ^3\) の中の正多面体や半正多面体について, 絵を描いたり, 計算してみたりするのが良いのではないだろうか。

「何を計算するのか」と思うかもしれないが, 例えば一松の [一松信02] を見れば, 計算する量がいろいろあることが分かるだろう。

この一松の本では, 半正多面体は, 準正多面体と呼ばれているが, 英語では semiregular polytope なので, 半正多面体と呼ぶのがよいだろう。と, いうことは, 2018年度卒業研究のメンバーの指摘で気がついた。

また, 幾何学的対象として扱う際には, やはり分類をしたくなる。

正単体の最も簡単な構成法は, 正規直交基底を成すベクトルの終点の convex hull を取る, というものである。\(n\)次元の単体を作るために \(\R ^{n+1}\) で考えなければならないのが欠点であるが。

この構成法で, 単位ベクトルではなく, 座標が\(1\)を\(k\)個, \(0\) を \(n-k\)個を持つベクトルを考えると, hypersimplex という種類の凸多面体ができる。 正単体は, \(k=1\) の場合である。

  • hypersimplex \(\Delta _{k,n}\)

Hypersimplex については, [LP07] で Lam と Postnikov が詳しく調べている。彼等以前に, Stanley (Foata の [Foa77] の comment) と Sturmfels [Stu96] が hypersimplex のうまい triagulation を与えているが, Lam と Postnikov は更に\(2\)種類の triangulation を与えている。 それらは全て identical であることが示されていて, そのことから hypersimplex に関する様々な情報が取り出せることが示されている。

ホモトピー論 (それ以外でも) で重要なものは permutohedron と associahedron だろう。関連したものとして cyclohedron がある。

これら3種類を含めた一般化を reflection group の視点から解説したものとして, Hohlweg の [Hoh12] がある。

有限次元ベクトル空間の部分群で, 自由アーベル群であるものを lattice という が, 頂点が全て lattice 上にあるものを lattice polytope という。 Regular lattice polytope の分類については, Karpenkov の [Kar] や Ressayre-Montagard の [RM] で分類されている。

  • lattice polytope

平行移動で内部が交わることなく Euclid 空間全体を覆うことができる多面体は, Garber らの [Gar11; GGM15] では, parallelohedron と呼ばれている。

  • parallelohedron

Gel\('\)fand と Kapranov とZelevinsky [GKZ94] によって Euclid空間の point configuration から構成された凸多面体は secondary polytope と呼ばれ, 様々な分野に登場する。

  • secondary polytope

最近では, Kapranov と Kontsevich と Soibelman の [KKS16] で Gaiotto と Witten と Moore による 物理 での構成を一般化するのに用いられている。

グラフから作られる多面体も様々なものがある。

グラフから作られた多面体と関連深いものとして, 有限距離空間から定義される fundamental polytope あるいは Kantorovich-Rubinstein polytope と呼ばれるものがある。

組み合せ論的構造としては, poset から作られた polytope もある。

有限群の実ベクトル空間への作用があると, 原点以外の点の orbit の convex hull として凸多面体が定義される。Collins と Perkinson の [CP] など。 より一般に, compact algebraic group の作用の orbit の convex hull を考えているのは, Sanyal と Sottile と Sturmfels [SSS] である。 彼らはそのようなものを orbitope と呼んでいる。

  • orbitope

群から作られるものとしては, Friedl-Tillmann polytope [FT20] というものもある。2つの元で生成され1つの関係式を持ち, Abel化 \(G/[G,G]=H_{1}(G;\Z )\) が \(\Z \oplus \Z \) のとき, \(H_{1}(G;\R )\cong \R ^{2}\) の中の凸多面体 (多角形) として構成される。 Friedl, Lück, Tillmann [FLT19] による virtual polytope としての構成もある。

  • Friedl-Tillmann polytope

表現論に関係した多面体もある。

  • Gelfand-Tsetlin polytope [GC50]
  • string polytope [Lit98; Ste]
  • \(\mathrm {Sp}_{2n}\)-polytope [Žel73]
  • Nakashima-Zelevinsky string polytope [NZ97]
  • Lusztig’s polytope [Lus90]

以下に, 他に目にした「名前の付いた」多面体の例を挙げる。

  • centrally symmetric polytope [Kal89]
  • Hanner polytope [Han56]
  • projectively unique polytope [BGT]
  • Pogorelov polytope [Pog67; And70; Ero]
  • harmonic polytopes [AE]
  • shard polytopes [PPR]
  • isocanted alcoved polytope [PC20]
  • polypositroid [LP]
  • inside-out polytope [BZ06]
  • pruned inside-out polytope [Reh]
  • conditionally decomposable polytopes [WY]
  • Feigin-Fourier-Littlemann polytope [FFL]
  • \(d\)-majorization polytope [ED]
  • agrarian polytope [FT20; HK]
  • cosmological polytope [ABP]
  • split network polytope [DDF]
  • partial alternating sign matrix polytope [HS]
  • matching field polytope [CHM]
  • Chan-Robbins-Yuen polytope [CRY]
  • sweep polytope or shellotope [PP; GS93]

References

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