様々な凸多面体

多面体は, やはり具体的な例で遊ぶのが楽しい。 まずは \(\R ^3\) の中の正多面体や半正多面体について, 絵を描いたり, 計算してみたりするのが良いのではないだろうか。

「何を計算するのか」と思うかもしれないが, 例えば一松の [一松信02] を見れば, 計算する量がいろいろあることが分かるだろう。

この一松の本では, 半正多面体は, 準正多面体と呼ばれているが, 英語では semiregular polytope なので, 半正多面体と呼ぶのがよいだろう。と, いうことは, 2018年度卒業研究のメンバーの指摘で気がついた。

また, 幾何学的対象として扱う際には, やはり分類をしたくなる。

高次元の正多面体も, もちろん定義できる。日本語では, やはり一松の [一松信83] があるが, Coxeter の本 [Cox73] を読むのがよいと思う。 どちらも, あまり読み易くはないが。

正多面体の中で基本的なのは, 次の\(3\)種類である:

  • 正単体 (simplex)
  • 立方体 (cube)
  • 立方体の双対 (crosspolytope)

これらは, 全ての次元に存在するという意味で, 基本的である。

立方体については, Zong の解説 [Zon05] がある。

正単体の最も簡単な構成法は, 正規直交基底を成すベクトルの終点の convex hull を取る, というものである。\(n\)次元の単体を作るために \(\R ^{n+1}\) で考えなければならないのが欠点であるが。

この構成法で, 単位ベクトルではなく, 座標が\(1\)を\(k\)個, \(0\) を \(n-k\)個を持つベクトルを考えると, hypersimplex という種類の凸多面体ができる。 正単体は, \(k=1\) の場合である。

  • hypersimplex \(\Delta _{k,n}\)

Hypersimplex については, [LP07] で Lam と Postnikov が詳しく調べている。彼等以前に, Stanley (Foata の [Foa77] の comment) と Sturmfels [Stu96] が hypersimplex のうまい triagulation を与えているが, Lam と Postnikov は更に\(2\)種類の triangulation を与えている。 それらは全て identical であることが示されていて, そのことから hypersimplex に関する様々な情報が取り出せることが示されている。

ホモトピー論 (それ以外でも) で重要なものは permutohedron と associahedron だろう。関連したものとして cyclohedron がある。

これら3種類を含めた一般化を reflection group の視点から解説したものとして, Hohlweg の [Hoh12] がある。

有限次元ベクトル空間の部分群で, 自由アーベル群であるものを lattice という が, 頂点が全て lattice 上にあるものを lattice polytope という。 Regular lattice polytope の分類については, Karpenkov の [Kar] や Ressayre-Montagard の [RM] で分類されている。

  • lattice polytope

Gel\('\)fand と Kapranov とZelevinsky [GKZ94] によって Euclid空間の point configuration から構成された凸多面体は secondary polytope と呼ばれ, 様々な分野に登場する。

  • secondary polytope

最近では, Kapranov と Kontsevich と Soibelman の [KKS16] で Gaiotto と Witten と Moore による 物理 での構成を一般化するのに用いられている。

E. Kim の thesis [Kim] によると, transportation polytope という種類の多面体は, operations research などでよく使われるもののようである。 また Lenz の [Len] によると, transportation polytope は, quiver から作られる flow polytope という凸多面体の一種のようである。

  • quiver の flow polytope
  • transportation polytope

グラフから多面体を作る方法もいくつもある。上記の associahedron の一般化の graph associahedron や cut polytope などである。

Cut polytope は, 全ての頂点の座標が \(0\) か \(1\) である \(0/1\)-polytope の一種である。

Dosen と Petric [DP11] は, Postnikov ら [PRW08] の generalized permutohedron をhypergraph から得られる polytope と考えて, 一般の hypergraph から得られる polytope を調べている。

組み合せ論的構造としては, poset から作られた polytope もある。

  • chain polytope と order polytope [Sta86]
  • marked chain polytope と marked order polytope [ABS11]
  • chain-order polytope [Hib+]
  • marked chain-order polytope [FF]

有限群の実ベクトル空間への作用があると, 原点以外の点の orbit の convex hull として凸多面体が定義される。Collins と Perkinson の [CP] など。 より一般に, compact algebraic group の作用の orbit の convex hull を考えているのは, Sanyal と Sottile と Sturmfels [SSS] である。 彼らはそのようなものを orbitope と呼んでいる。

  • orbitope

表現論に関係した多面体もある。

  • Gelfand-Tsetlin polytope [GC50]
  • string polytope [Lit98]

有限距離空間から, 凸多面体を作ることもできる。

References

[ABS11]

Federico Ardila, Thomas Bliem, and Dido Salazar. “Gelfand-Tsetlin polytopes and Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg polytopes as marked poset polytopes”. In: J. Combin. Theory Ser. A 118.8 (2011), pp. 2454–2462. arXiv: 1008.2365. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2011.06.004.

[Chv75]

V. Chvátal. “On certain polytopes associated with graphs”. In: J. Combinatorial Theory Ser. B 18 (1975), pp. 138–154.

[Cox73]

H. S. M. Coxeter. Regular polytopes. Third. New York: Dover Publications Inc., 1973, pp. xiv+321.

[CP]

John Collins and David Perkinson. Frobenius polytopes. arXiv: 1102.0988.

[DP11]

Kosta Došen and Zoran Petrić. “Hypergraph polytopes”. In: Topology Appl. 158.12 (2011), pp. 1405–1444. arXiv: 1010.5477. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2011.05.015.

[FF]

Xin Fang and Ghislain Fourier. Marked chain-order polytopes. arXiv: 1508.02232.

[Foa77]

Dominique Foata. “Distributions eulériennes et mahoniennes sur le groupe des permutations”. In: Higher combinatorics (Proc. NATO Advanced Study Inst., Berlin, 1976). Vol. 31. NATO Adv. Study Inst. Ser., Ser. C: Math. Phys. Sci. With a comment by Richard P. Stanley. Dordrecht: Reidel, 1977, pp. 27–49.

[GC50]

I. M. Gel\('\)fand and M. L. Cetlin. “Finite-dimensional representations of the group of unimodular matrices”. In: Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.) 71 (1950), pp. 825–828.

[GKZ94]

I. M. Gel\('\)fand, M. M. Kapranov, and A. V. Zelevinsky. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1994, pp. x+523. isbn: 0-8176-3660-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4771-1.

[Hib+]

Takayuki Hibi, Nan Li, Teresa Xueshan Li, Lili Mu, and Akiyoshi Tsuchiya. Order-Chain Polytopes. arXiv: 1504.01706.

[Hoh12]

Christophe Hohlweg. “Permutahedra and associahedra: generalized associahedra from the geometry of finite reflection groups”. In: Associahedra, Tamari lattices and related structures. Vol. 299. Prog. Math. Phys. Birkhäuser/Springer, Basel, 2012, pp. 129–159. arXiv: 1112.3255. url: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0405-9_8.

[Kar]

Oleg Karpenkov. Classification of lattice-regular lattice convex polytopes. arXiv: math/0602193.

[Kim]

Edward D. Kim. Geometric Combinatorics of Transportation Polytopes and the Behavior of the Simplex Method. arXiv: 1006.2416.

[KKS16]

M. Kapranov, M. Kontsevich, and Y. Soibelman. “Algebra of the infrared and secondary polytopes”. In: Adv. Math. 300 (2016), pp. 616–671. arXiv: 1408.2673. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.03.028.

[Len]

Matthias Lenz. Toric Ideals of Flow Polytopes. arXiv: 0801.0495.

[Lit98]

P. Littelmann. “Cones, crystals, and patterns”. In: Transform. Groups 3.2 (1998), pp. 145–179. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01236431.

[LP07]

Thomas Lam and Alexander Postnikov. “Alcoved polytopes. I”. In: Discrete Comput. Geom. 38.3 (2007), pp. 453–478. arXiv: math/0501246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-006-1294-3.

[Mat]

Kazunori Matsuda. Strong Koszulness of toric rings associated with stable set polytopes of trivially perfect graphs. arXiv: 1308.5461.

[PRW08]

Alex Postnikov, Victor Reiner, and Lauren Williams. “Faces of generalized permutohedra”. In: Doc. Math. 13 (2008), pp. 207–273. arXiv: math/0609184.

[RM]

Nicolas Ressayre and Pierre-Louis Montagard. Lattice Polytopes and Root Systems. arXiv: math/0609809.

[SSS]

Raman Sanyal, Frank Sottile, and Bernd Sturmfels. Orbitopes. arXiv: 0911.5436.

[Sta86]

Richard P. Stanley. “Two poset polytopes”. In: Discrete Comput. Geom. 1.1 (1986), pp. 9–23. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02187680.

[Stu96]

Bernd Sturmfels. Gröbner bases and convex polytopes. Vol. 8. University Lecture Series. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996, pp. xii+162. isbn: 0-8218-0487-1.

[Zon05]

Chuanming Zong. “What is known about unit cubes”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 42.2 (2005), 181–211 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-05-01050-5.

[一松信02]

一松信. 正多面体を解く. TOKAI LIBRARY. 東京: 東海大学出版会, 2002, p. 170. isbn: 4486015878.

[一松信83]

一松信. 高次元の正多面体. 数セミ・ブックス. 東京: 日本評論社, 1983, p. 180. isbn: 4535602077.