Fiber Polytopes and Related Topics

Billera と Sturmfels [BS92; BS94] は, Gel\('\)fand, Kapranov, Zelevinsky の secondary polytope [GKZ94] の一般化として, fiber polytope を導入した。

• secondary polytope

Fiber polytope という名前から, fibration を連想するが, Ziegler の本の最後には, fiber polytope を “fibration” とみなせるような convex polytope の category を構成するという問題がある。 これに関連して, Bogart と Contois と Gubeladze が [BCG13] で internal Hom を定義して調べている。その left adjoint, つまり tensor product も存在し, closed symmetric monoidal category になるようである。 Gubeladze と Love の [GL15] も見るとよい。

• Hom-polytope
• tensor product polytope
• category of convex polytopes

更に polyhedral ではない convex set に拡張したものとして, Velasco の [Vel15] がある。

1次元の多面体, すなわち線分への射影の場合は monotone path polytope と呼ばれる。Black と De Loera の [BL] の section 2 に簡潔にまとめられている。彼等は, Reiner の [Rei99] を参照している。

• monotone path polytope

Monotone path polytope の例としては, permutohedron がある。これは \(\pi (x_1,\ldots ,x_n) = \sum _i x_i\) で与えられる fiber polytope \[ \pi : I^n \longrightarrow [0,n] \] の monotone path polytope である。これは zonotope になっている。

References

[BCG13]

Tristram Bogart, Mark Contois, and Joseph Gubeladze. “Hom-polytopes”. In: Math. Z. 273.3-4 (2013), pp. 1267–1296. arXiv: 1111.3880. url: https://doi.org/10.1007/s00209-012-1053-5.

[BL]

Alexander Black and Jesús De Loera. Monotone Paths on Cross-Polytopes. arXiv: 2102.01237.

[BS92]

Louis J. Billera and Bernd Sturmfels. “Fiber polytopes”. In: Ann. of Math. (2) 135.3 (1992), pp. 527–549. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946575.

[BS94]

Louis J. Billera and Bernd Sturmfels. “Iterated fiber polytopes”. In: Mathematika 41.2 (1994), pp. 348–363. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0025579300007440.

[GKZ94]

I. M. Gel\('\)fand, M. M. Kapranov, and A. V. Zelevinsky. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1994, pp. x+523. isbn: 0-8176-3660-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4771-1.

[GL15]

Joseph Gubeladze and Jack Love. “Vertex maps between \(\triangle \), \(\square \), and \(\lozenge \)”. In: Geom. Dedicata 176 (2015), pp. 375–399. arXiv: 1304.3775. url: https://doi.org/10.1007/s10711-014-9973-3.

[Rei99]

Victor Reiner. “The generalized Baues problem”. In: New perspectives in algebraic combinatorics (Berkeley, CA, 1996–97). Vol. 38. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999, pp. 293–336.

[Vel15]

Mauricio Velasco. “Linearization functors on real convex sets”. In: SIAM J. Optim. 25.1 (2015), pp. 1–27. arXiv: 1203.0946. url: https://doi.org/10.1137/130930698.