多角形は, 2次元の多面体であるが, 多面体の研究の中心が凸多面体なのに対し, 多角形は凸でないものも結構調べられているようである。
多角形については, 日本語では, 桝田と福川の本 [枡福13] をまず読んでみるのがいいかもしれない。 あまり予備知識を必要とせず Pick
の公式などの面白い現象が解説されている。 格子多角形中心であるが。
格子多角形は, 頂点の座標が整数であるものであるが, 辺の長さが整数であるものは, integer polytope と呼ばれるようである。
East と Niles [EN19] によると Honsberger [Hon85] により, 与えられた自然数 \(n\) に対する辺の長さの合計が \(n\) である
integer polygon の合同類の数が得られている。East と Niles はその一般化を得ている。
可積分系に関係した話題としては, pentagram map という凸多角形から新しい凸多角形を作る操作がある。 多角形の moduli
空間 (configuration space) の上の自己写像と考えることもできる。
Ovsienko と Schwartz と Tabachnikov [OST10] によると, pentagram map は
R. Schwartz [Sch92] により導入されたものらしい。
Dimer model から作られるものとして, characteristic polygon と呼ばれるものがある。Holmes の [Hol]
を見るとよい。
- dimer model の characteristic polygon
References
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[EN19]
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James East and Ron Niles. “Integer polygons of given perimeter”.
In: Bull. Aust. Math. Soc. 100.1 (2019), pp. 131–147. arXiv: 1710.
11245. url: https://doi.org/10.1017/s0004972718001612.
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[Hol]
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Daniel Holmes. Affine dimers from characteristic polygons. arXiv:
2110.01703.
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[Hon85]
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Ross Honsberger. Mathematical gems. III. Vol. 9. The Dolciani
Mathematical Expositions. Mathematical Association of America,
Washington, DC, 1985, pp. v+250. isbn: 0-88385-313-2.
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[OST10]
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Valentin Ovsienko, Richard Schwartz, and Serge Tabachnikov.
“The pentagram map: A discrete integrable system”. In: Comm.
Math. Phys. 299.2 (2010), pp. 409–446. arXiv: 0810.5605. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00220-010-1075-y.
-
[Sch92]
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Richard Schwartz. “The
pentagram map”. In: Experiment. Math. 1.1 (1992), pp. 71–81. url:
http://projecteuclid.org/euclid.em/1048709118.
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[枡福13]
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枡田幹也 and 福川由貴子. 格子からみえる数学. 日本評論社, 2013. isbn: 9784535785830.
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