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有限群 \(G\) の有限次元実ベクトル空間 \(V\) 上の 表現があると, \(V\) の点 \(x_{0}\) を選び, \(G\) を \(x_{0}\) に作用させてできる点の convex hull
を取ることにより凸多面体ができる。 このような多面体は, Dutour Sikirić と Ellis の [DE09] では orbit polytope
と呼ばれている。Permutation representation の場合は, permutation polytope [Bau+09]
と呼ばれるようである。
- orbit polytope
- permutation polytope
具体的に頂点を指定して定義される多面体として, cyclic polytope がある。 古くから調べられているものであるが,
その単体分割と higher Auslander-Reiten theory との関係が Oppermann と Thomas [OT12]
により発見された。
最近は, その lattice point が highest weight representation を parametrize するような様々な
rational polytope が 表現論で使われている。 代表的なものは Gel\('\)fand-Tsetlin polytope であるが, 文献によって
Gel\('\)fand-Zetlin とか Gel\('\)fand-Tsetlin とか書かれているのでややこしい。
- Gelfand-Tsetlin polytope [GC50]
Steinert [Ste22] の Introduction にこの手の多面体が色々挙げられている。
- Feigin-Fourier-Littlemann-Vinberg (FFLV) polytope [FFL11]
- string polytope [Lit98; Ste22]
- \(\mathrm {Sp}_{2n}\)-polytope [Žel73]
- Nakashima-Zelevinsky string polytope [NZ97]
- Lusztig’s polytope [Lus90]
- Gornitski’s polytope [Gor19]
他に表現論に関係した多面体として以下のようなものがある。
- Mirkovic-Vilonen polytope [And03]
- pseudo-Weyl polytope [Kam10]
- Khovanov-Lauda-Rouquier polytope [TW16]
References
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[And03]
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Duke Math. J. 116.3 (2003), pp. 567–588. arXiv: math/0110225.
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[Bau+09]
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[DE09]
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[FFL11]
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[GC50]
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and M. L. Cetlin. “Finite-dimensional representations of the group
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[Gor19]
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Andrei A. Gornitskii. “Essential signatures and monomial bases
for \(B_n\) and \(D_n\)”. In: J. Lie Theory 29.1 (2019), pp. 277–302. arXiv:
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[Kam10]
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url: https://doi.org/10.1112/S0010437X16007338.
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[Žel73]
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Translations of Mathematical Monographs, Vol. 40. Translated from
the Russian by Israel Program for Scientific Translations. American
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