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Kantorovich-Rubinstein polytope あるいは fundamental polytope |
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最適輸送問題との関連で, 有限距離空間から定義される多面体がある。 Vershik [Ver15] は, fundamental polytope と呼んでいるが, Jevtić, Jelić, Živaljević [JJŽ18; JTŽ21] は, Kantorovich-Rubinstein polytope と呼んでいる。 定義は, 簡単である。 Definition 1. Let \((X,d)\) be a finite metric space with \(n=|X|\). The vector space of all \(\R \)-valued functions on \(X\) is denoted by \(C(X)\). The subspace of all functions \(f\) with \(\sum _{x\in X} f(x)=0\) is denoted by \(C_0(X)\). The fundamental polytope of \((X,d)\) is the convex hull \(R_{(X,d)}\) of \(\set {e_{x,y}}{x,y\in X, x\neq y}\) in \(C_0(X)\), where \[ e_{x,y} = \frac {\delta _x-\delta _y}{d(x,y)} \] and \(\delta _x\) is the function defined by \[ \delta _x(y) = \begin {cases} -\frac {1}{n}, & y\neq x \\ \frac {n-1}{n}, & y=x. \end {cases} \]
この定義を見れば分かるように, \(d\) は距離になっている必要はない。 実際, Delucchi と Hoessly [DH20] は tree-like pseudometric に対する fundamental polytope の \(f\)-vector などを調べている。 超平面配置の組合せ論に帰着できるようで, 興味深い。 Delucchi と Hoessly [DH20] では, その polar dual は Lipschitz poltyope と呼ばれている。
Gordon と Petrov の [GP17] や Celik, Jamneshan, Montúfar, Sturmfels, Venturello [Çel+21] にも書かれているが, Lipschitz polytope は, tropicalな意味でも polytope, つまり polytrope になっている。
Gordon と Petrov は, [GP17] で “generic” な場合, つまり全ての面が単体になっている場合の \(f\)-vecotr を決定している。また, 距離が generic であることの特徴付けも得ている。 有限グラフ \(G\) が与えられたときに, \(G\) 辺の長さを \(1\) として頂点集合に最短の道の長さで距離を定めることができるが, その fundamental polytope は \(G\) の symmetric edge polytope と呼ばれる多面体になっている。辺に向きの付いたグラフの場合には, directed edge polytope という多面体ができる。 References
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