Minkowski sum

2つの凸多面体を合わせて新しい凸多面体を作る操作に Minkowski sum というものがある。トポロジーで join と呼ばれる操作とよく似た操作であり, 一致することもある。もちろん, 凸多面体の場合は, Euclid空間内での配置が重要になるので, 抽象的に定義された join とは異なる場合が多いが。

1次元多面体, すなわち線分の Minkowski sum で表される多面体を zonotope と呼ぶ。

• zonotope

単体の Minkowski sum で表わされる polytope について, その性質を調べているのが, Agnarsson と Morris の [AM09] である。 より複雑な polytope については, 一般的な構造を読み取るのは大変である。

Sanyal [San09] は頂点の数を調べている。 Fukuda と Weibelの [FW07]では \(f\)-vector が調べられている。

\(\R ^n\) 内の lattice polytope 全体の集合には, Minkowski 和で commutative monoid の構造が入るので, その Grothendieck group が考えられる。 Cha, Friedl, Funke の [CFF17] や Funke の [Fun21] で調べられている。

もちろん, lattice polytope に限らず, convex polytope 全てを考えてもよい。 その Grothendieck group の元は, virtual polytope と呼ばれる。 Panina [Pan02; Pan15] によると, 最初は Khovanskii と Pukhlikov の [PK92] で考えられたもののようである。

• virtual polytope

Grothendieck group で考えると形式的な引き算ができるようになるが, 「本当の引き算」として Minkowski difference という操作も考えられる。

• Minkowski difference

Daniel Mathews の [Mat19] で使われている。

一方, Minkowski sum を積と考えることもできる。和は \[ [P]+[Q] = [P\cup Q] + [P\cap Q] \] で定義する。また平行移動で重なるものを同一視する。 そのようにして定義されたのが McMullen の polytope algebra [McM89] である。有限次元実ベクトル空間 \(V\) の中の全ての凸多面体で生成されたもの \(\Pi (V)\) を考えることもできるが, 特定の凸多面体 \(P\) の Minkowski summand で生成された subalgebra \(\Pi (P)\) を考えることもできる。

• Minkowski summand
• polytope algebra

Castillo による survey [Cas19] がある。 McMullen の原論文で, \(\Pi (P)\) は \(P\) に associate した toric variety の Chow ring と同型であることが示されている。

References

[AM09]

Geir Agnarsson and Walter D. Morris. “On Minkowski sums of simplices”. In: Ann. Comb. 13.3 (2009), pp. 271–287. arXiv: math/ 0605564. url: https://doi.org/10.1007/s00026-009-0031-z.

[Cas19]

Federico Castillo. “A pithy look at the polytope algebra”. In: Algebraic and geometric combinatorics on lattice polytopes. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2019, pp. 117–131.

[CFF17]

Jae Choon Cha, Stefan Friedl, and Florian Funke. “The Grothendieck group of polytopes and norms”. In: Münster J. Math. 10.1 (2017), pp. 75–81. arXiv: 1512 . 06699. url: https://doi.org/10.17879/33249451813.

[Fun21]

Florian Funke. “The integral polytope group”. In: Adv. Geom. 21.1 (2021), pp. 45–62. arXiv: 1605.01217. url: https://doi.org/10.1515/advgeom-2019-0029.

[FW07]

Komei Fukuda and Christophe Weibel. “\(f\)-vectors of Minkowski additions of convex polytopes”. In: Discrete Comput. Geom. 37.4 (2007), pp. 503–516. arXiv: math/0510470. url: https://doi.org/10.1007/s00454-007-1310-2.

[Mat19]

Daniel V. Mathews. “Polytopes, dualities, and Floer homology”. In: Gromov-Witten theory, gauge theory and dualities. Vol. 48. Proc. Centre Math. Appl. Austral. Nat. Univ. Austral. Nat. Univ., Canberra, 2019, p. 41. arXiv: 1702.03630.

[McM89]

Peter McMullen. “The polytope algebra”. In: Adv. Math. 78.1 (1989), pp. 76–130. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(89)90029-7.

[Pan02]

G. Yu. Panina. “Virtual polytopes and classical problems in geometry”. In: Algebra i Analiz 14.5 (2002), pp. 152–170.

[Pan15]

Gaiane Yu. Panina. “Cyclopermutohedron”. In: Proc. Steklov Inst. Math. 288 (2015). Published in Russian in Tr. Mat. Inst. Steklova 288 (2015), 149–162, pp. 132–144. arXiv: 1401 . 7476. url: https://doi.org/10.1134/S0081543815010101.

[PK92]

A. V. Pukhlikov and A. G. Khovanskiı̆. “The Riemann-Roch theorem for integrals and sums of quasipolynomials on virtual polytopes”. In: Algebra i Analiz 4.4 (1992), pp. 188–216.

[San09]

Raman Sanyal. “Topological obstructions for vertex numbers of Minkowski sums”. In: J. Combin. Theory Ser. A 116.1 (2009), pp. 168–179. arXiv: math/0702717. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2008.05.009.