Tilings

正方形や平行四辺形は, 平行移動により辺と辺がピッタリ合うようにして, 平面全体を覆いつくすことができる。 このような被覆を tiling と呼ぶ。 より一般に複数の種類の多面体による tiling も考えることができる。 Euclid 空間を半径 \(\infty \) の球面とみなし, 凸多面体の一種と考えることもある。 あるいは, 凸多面体を球面の tiling とみなしてもよい。

一般向けに書かれたものとしては, Ardilla と Stanley の [AS10] があるので, まずはこれを読むのが良いと思う。 また, reference で挙げられている文献全てにコメントが付いているので, それらの文献を見てみるのも良いと思う。

Schulte の [Sch] もあるが, そこでは基本的な用語などは Grünbaum と Shephard の [GS87], [GO04] の中の Schattschneider と Senechal により書かれた章, Schulte 自身の [Sch93] などを参照している。

平行移動 Euclid 空間全体 tile することができる多面体は, Garber らの [Gar11; GGM15] では, parallelohedron と呼ばれている。

• parallelohedron

\(\R ^{2}\) の中の頂点が \(\Z ^{2}\) 上にある線分で囲まれた (凸とは限らない) 領域を polynomio と呼ぶが, Hitchman [Hit15] によると, polynomio による tiling を調べることを提案したのは Conway [CL90] のようである。

• polynomio

Tiling に対しては, いくつかの空間を定義することができる。 例えば Savinien と Bellissard の [SB09] では, hull の \(K\)-theory と prototile space の homology を関係付ける Atiyah-Hirzebruch-Serre 型の spectral sequence が構成されている。

周期性の無い tiling, つまり aperiodic tiling についても様々な人が調べている。

• aperiodic tiling

Goodman-Strauss による catalogue [Goo18] がある。 より新しいものとしては, Greenfeld と Tao の [GT] に table 1 として表がある。 最初の例を見付けたのは, Robert Berger [Ber66] のようである。

どれだけ少ない種類のタイルで平面の tiling を作れるか, というのが主要な問題であるが, 2種類のタイルによる aperiodic tiling は, 既に Penrose [Pen80] により発見されている。

1種類のタイルで平面の aperiodic tiling を作れるか, は長年の問題だったが, 最近 Smith, Myers, Kaplan, Goodman-Strauss [Smi+] により, そのような aperiodic tiling が発見されたことが, 話題になった。 Kalai の blog や neverendingbooks でも取り上げられている。

References

[AS10]

Federico Ardila and Richard P. Stanley. “Tilings”. In: Math. Intelligencer 32.4 (2010), pp. 32–43. arXiv: math/0501170. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00283-010-9160-9.

[Ber66]

Robert Berger. “The undecidability of the domino problem”. In: Mem. Amer. Math. Soc. No. 66 (1966), p. 72.

[CL90]

J. H. Conway and J. C. Lagarias. “Tiling with polyominoes and combinatorial group theory”. In: J. Combin. Theory Ser. A 53.2 (1990), pp. 183–208. url: http://dx.doi.org/10.1016/0097-3165(90)90057-4.

[Gar11]

Alexey Garber. “The second Voronoi conjecture on parallelohedra for zonotopes”. In: Mosc. J. Comb. Number Theory 1.2 (2011), pp. 33–39. arXiv: 1104.0401.

[GGM15]

A. Garber, A. Gavrilyuk, and A. Magazinov. “The Voronoi conjecture for parallelohedra with simply connected \(\delta \)-surfaces”. In: Discrete Comput. Geom. 53.2 (2015), pp. 245–260. arXiv: 1212. 1019. url: https://doi.org/10.1007/s00454-014-9660-z.

[GO04]

Jacob E. Goodman and Joseph O’Rourke, eds. Handbook of discrete and computational geometry. Second. Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004, pp. xviii+1539. isbn: 1-58488-301-4. url: https://doi.org/10.1201/9781420035315.

[Goo18]

Chaim Goodman-Strauss. “Lots of aperiodic sets of tiles”. In: J. Combin. Theory Ser. A 160 (2018), pp. 409–445. arXiv: 1608. 07165. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2018.07.002.

[GS87]

Branko Grünbaum and G. C. Shephard. Tilings and patterns. W. H. Freeman and Company, New York, 1987, pp. xii+700. isbn: 0-7167-1193-1.

[GT]

Rachel Greenfeld and Terence Tao. Undecidable translational tilings with only two tiles, or one nonabelian tile. arXiv: 2108.07902.

[Hit15]

Michael P. Hitchman. “The topology of tile invariants”. In: Rocky Mountain J. Math. 45.2 (2015), pp. 539–563. arXiv: 1507.02315. url: https://doi.org/10.1216/RMJ-2015-45-2-539.

[Pen80]

R. Penrose. “Pentaplexity: a class of nonperiodic tilings of the plane”. In: Math. Intelligencer 2.1 (1979/80), pp. 32–37. url: https://doi.org/10.1007/BF03024384.

[SB09]

Jean Savinien and Jean Bellissard. “A spectral sequence for the \(K\)-theory of tiling spaces”. In: Ergodic Theory Dynam. Systems 29.3 (2009), pp. 997–1031. arXiv: 0705 . 2483. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0143385708000539.

[Sch]

Egon Schulte. Combinatorial Space Tiling. arXiv: 1005.3836.

[Sch93]

Egon Schulte. “Tilings”. In: Handbook of convex geometry, Vol. A, B. North-Holland, Amsterdam, 1993, pp. 899–932.

[Smi+]

David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, and Chaim Goodman-Strauss. An aperiodic monotile. arXiv: 2303.10798.