群論

代数的トポロジーで使われる代数的構造として, 群は最も基本的である。 ホモロジーや, \(2\)次元以上のホモトピー群などは, アーベル群に値を持つ位相空間の不変量であるが, 基本群のように可換とは限らない群に値を持つ不変量もある。 また, 様々な重要な空間が, 群の分類空間として構成される。

逆に群を調べるために幾何学的なテクニックを用いることもよく行なわれている。 たとえば geometric group theory という分野がある。

• geometric group theory

別の “幾何学的” なアプローチとしては, Majid らによる非可換幾何学に基づいたものがある。 [Maj05; PMR] など。

群は, もちろん, 変換群, つまりあるものの対称性を表わすものとしての役割が本来のものである。 つまり, 群の作用である。 ベクトル空間に線型に作用する場合は群の表現と言ったりする。 最近では, 群の圏への作用も重要になってきている。

• 群論の基礎
• アーベル群
• word problem
• 有限群
• 離散群
• 対称群について
• reflection group と Coxeter group
• \(2\)-group
• 表現論
• 群の圏への作用

代数的トポロジーに関係の深い話題としては, 群のコホモロジーがある。 群の分類空間のコホモロジーと考えることができるからである。 最近では, fusion system などの道具が分類空間のホモトピー論に導入されている。

• 群のコホモロジー
• 分類空間
• 有限群の部分群の成す poset や small category

正規部分群などの概念を up to homotopy にすることも考えられている。Farjoun と Segev の [FS10] や Prezma の [Pra] など。

群論とは言えないかもしれないが, 圏論的に群を見ると見通しが良くなることも多い。 例えば, 群は object が一つで全ての morphism が逆を持つ small category とみなすことができる。 分類空間の構成は, 最初は群に対して行われたが, このようにみると一般の small category で行うのが自然に思えるだろう。 また中心や半直積のように, 群論における基本的な概念が圏に一般化されることも多い。 中心の一般化は誰が最初に考えたのか分からないが, 例えば Chirvasitu の [Chi11] にある。 半直積の圏論的一般化は, Grothendieck construction である。

別の圏論的視点としては, tautological ではあるが, 集合の圏での group object という見方がある。一般の monoidal category での group object やその類似は様々な分野で現れる。Blohmann と Weinstein の [BW] など。ただ, 通常の group object の定義はおかしいと思っている人もいるようである。

• 群の概念の一般化

References

[BW]

Christian Blohmann and Alan Weinstein. Group-like objects in Poisson geometry and algebra. arXiv: math/0701499.

[Chi11]

Alexandru Chirvăsitu. “Subcoalgebras and endomorphisms of free Hopf algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.2 (2011), pp. 101–107. arXiv: 1002.3198. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.04.002.

[FS10]

Emmanuel D. Farjoun and Yoav Segev. “Crossed modules as homotopy normal maps”. In: Topology Appl. 157.2 (2010), pp. 359–368. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2009.09.004.

[Maj05]

Shahn Majid. “Noncommutative differentials and Yang-Mills on permutation groups \(S_{n}\)”. In: Hopf algebras in noncommutative geometry and physics. Vol. 239. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 2005, pp. 189–213. arXiv: math/0105253.

[PMR]

Javier López Peña, Shahn Majid, and Konstanze Rietsch. Lie theory of finite simple groups and the Roth property. arXiv: 1003.5611.

[Pra]

Matan Prasma. Homotopy Normal Maps. arXiv: 1011.4708.