Posets and Categories of Subgroups

有限群 \(G\) に対し, その部分群は inclusion で finite poset を成す。 このような群からできる poset や small category の分類空間のホモトピー論的性質を調べることにより, 群の情報を得る手法を提案したのは, Quillen [Qui78] だろう。Gelvin と Møller の[GM15] では, elementary \(p\)-subgoup の成す poset は Quillen poset, \(p\)-Sylow subgroup の成す poset は Brown poset, \(p\)-radical subgroup の成す poset は Bouc poset と呼ばれている。

• Quillen poset \(\cA _{p}(G)\) [Qui78]
• Brown poset \(\cS _{p}(G)\) [Bro75]
• Bouc poset \(\cB _{p}(G)\) [Bou84]

基本的な事柄については, Webb による survey [Web87] があるので, これを見るのが便利である。少し古いが。

\(O_{p}(G)\) を群 \(G\) の maximal normal \(p\)-subgroup としたとき, Quillen poset については, \(O_{p}(G)\) が自明でないならば, \(\cA _{p}(G)\) の分類空間が可縮になることが, Quillen により示されている。 また, Quillen は \(O_{p}(G)\) が自明ならば, \(\cA _{p}(G)\) の分類空間の reduced homology が自明になることを予想している。

• \(\cA _{p}(G)\) に関する Quillen の予想

これについては, Aschbacher と Smith [AS93] が \(p>5\) の場合に成り立つことを証明している。残りの \(p=3,5\) の場合も, Piterman と Smith [PS] により証明されたようである。

Balmer [Bal18] によると, Balmer の [Bal15] で finite \(G\)-set の圏の上に定義された sipp topology という Grothendieck topology を用いた cohomology が, Brown complex と関係しているということが, Bouc により指摘されたそうである。論文 [Bal18] では, endotrivial 表現と呼ばれる表現と, Brown complex 上の \(G\)-equivariant complex line bundle の間の対応が調べられている。\(p\)-Sylow 群の \(p\) と係数体の標数が一致する場合を考えているので, modular representation theory への新しいアプローチを与えているこ とになるのだろうか。

他にも様々な poset が構成されているし, small category を構成することもできる。部分群から作られた small category として重要なのは, fusion system だろう。

• fusion system

Gelvin と Møller の[GM15] では, これらの poset や small category が比較されている。

References

[AS93]

Michael Aschbacher and Stephen D. Smith. “On Quillen’s conjecture for the \(p\)-groups complex”. In: Ann. of Math. (2) 137.3 (1993), pp. 473–529. url: https://doi.org/10.2307/2946530.

[Bal15]

Paul Balmer. “Stacks of group representations”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17.1 (2015), pp. 189–228. arXiv: 1302.6290. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/501.

[Bal18]

Paul Balmer. “Endotrivial representations of finite groups and equivariant line bundles on the Brown complex”. In: Geom. Topol. 22.7 (2018), pp. 4145–4161. arXiv: 1511 . 00519. url: https://doi.org/10.2140/gt.2018.22.4145.

[Bou84]

Serge Bouc. “Homologie de certains ensembles ordonnés”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 299.2 (1984), pp. 49–52.

[Bro75]

Kenneth S. Brown. “Euler characteristics of groups: the \(p\)-fractional part”. In: Invent. Math. 29.1 (1975), pp. 1–5. url: https://doi.org/10.1007/BF01405170.

[GM15]

Matthew Gelvin and Jesper M. Møller. “Homotopy equivalences between \(p\)-subgroup categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 219.7 (2015), pp. 3030–3052. arXiv: 1301.0193. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.10.002.

[PS]

Kevin I. Piterman and Stephen D. Smith. Some results on Quillen’s Conjecture via equivalent-poset techniques. arXiv: 2204.13055.

[Qui78]

Daniel Quillen. “Homotopy properties of the poset of nontrivial \(p\)-subgroups of a group”. In: Adv. in Math. 28.2 (1978), pp. 101–128. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(78)90058-0.

[Web87]

P. J. Webb. “Subgroup complexes”. In: The Arcata Conference on Representations of Finite Groups (Arcata, Calif., 1986). Vol. 47. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987, pp. 349–365.