Lück の survey [Lüc08] にあるように, 何を geometric group theory と呼ぶかははっきりしないようであるが,
Lückは有限生成 離散群 の Cayley graph を word metric により距離空間 とみなし,
その幾何学的構造を調べることにより群の性質を得るという手法を, geometric group theory と呼んでいる。これは Gromov
のアイデア [Gro93] なのだろうか。
Lück の survey では, 基本的な事実の証明については, Bridson と Haefliger の本 [BH99] が参照されている。
距離が定義されているということは, 距離空間の不変量を, 群の不変量として用いることができるということである。例えば次元など。
解析的な道具もよく使われるようである。 測度を用いた measure equivalence という同値関係もある。\(C^*\)-algebra を用いた
rapid decay property という性質もある。
- measure equivalence
- orbit equivalence
- rapid decay property
Kida の [Kid] では, mapping class group の measure equivalence が考えられている。同じく
mapping class group についてであるが, rapid decay property を証明しているのは Behrstock と Minsky
[BM] である。
有限生成とは限らない可算群に対してそのアイデアを拡張しようということも 行われている。[Hig] の Introduction に,
いくつか文献があげられている。
References
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[BH99]
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Martin R. Bridson and André Haefliger. Metric spaces of
non-positive curvature. Vol. 319. Grundlehren der Mathematischen
Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences].
Berlin: Springer-Verlag, 1999, pp. xxii+643. isbn: 3-540-64324-9.
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[BM]
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Jason A. Behrstock and Yair N. Minsky. Centroids and the Rapid
Decay property in mapping class groups. arXiv: 0810.1969.
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[Gro93]
-
M. Gromov. “Asymptotic invariants of infinite groups”. In: Geometric
group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991). Vol. 182. London Math.
Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993,
pp. 1–295.
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[Hig]
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J. Higes. A coarse classification of countable abelian groups. arXiv:
0803.0379.
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[Kid]
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Yoshikata Kida. The mapping class group from the viewpoint of
measure equivalence theory. arXiv: math/0512230.
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[Lüc08]
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Wolfgang Lück. “Survey on geometric group theory”. In: Münster J.
Math. 1 (2008), pp. 73–108. arXiv: 0806.3771.
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