群の概念の一般化

群は様々な見方ができて面白い:

1. 群は, object が一つで morphism が全て逆を持つ small category である。
2. 群は, 自分自身に conjugation で作用する。
3. 群からは, group ring という Hopf algebra が作られる。
4. Lie群からは, その Lie algebra の universal enveloping algebra として Hopf algebra が作られる。
5. 群の表現の圏は, tensor category になる。
6. 有限群 \(G\) に対し\(G\)-graded vector space の圏は, \(G\) の \(3\)-cocycle (\(H^3(G;\bbC ^{\times })\)の元) で twist することにより, tensor category になる。
7. ホモトピー同値 \(\Omega BG \simeq G\) がある。

最初の見方から群を一般化したのが, groupoid であり small category である。 また, 単位元の存在と積が結合的であることを取り出すと monoid になり, 逆元を持つということだけに着目すると algebraic loop という構造が得られる。

• groupoid
• small category
• monoid
• algebraic loop

Monoid では, 演算が部分的にしか定義されていないものを partial monoid として考えることがあるが, 群の場合でも, 演算が部分的にしか定義されていないものを考えることがある。

• partial monoid や partial group

他にも, 位相空間で, ある条件をみたす open dense subset 上で積と逆元をとる操作が定義されているものがある。group chunk と呼ぶようである。 この Tao の blog の記事 では local group と呼ばれているものも, 同じような概念であるが, 定義域が dense であるということは仮定されていない。

• group chunk
• local group

van den Dries の [Dri90] によると, complex algebraic variety の場合, group chunk が代数群に拡張できるという事実は, Weil の group chunk theorem というらしい。van den Dries は, その topological version を考えている。

Tao らは, [BGT12] で approximate group という概念を考えている。

• approximate group

これは, 群というより部分群 (部分monoid) の概念の拡張のようである。つまり, ある群 (やlocal group) の部分集合が “だいたい積で閉じている” ということを表した概念である。Green による Notices of AMS の “WHAT IS \(\ldots \)?” の解説 [Gre12] もある。

3番目と4番目の視点からは量子群の概念が得られる。

• 量子群

また, 3番目から別の視点で得られた群の一般化としては, hypergroup という ものがある。Litvinov の解説 [Lit85] で扱われているのは, 作用素環の視点からの一般化であるが, そこに特別な例として書かれている multivalued group のことを (canonical) hypergroup と呼ぶのが普通のようである。

• hypergroup

つまり, canonical hypergroup \(G\) とは, 積が \(G\) の部分集合に値を持つ群の一般化である。 この MathOverflow の質問は, Connes と Consani の [CC11; CC10] で登場する hyperring の underlying structure 以外に hypergroup はどのようなところで現れるか, という内容である。 それに対する回答では, Wildberger の[Wil95] が参照されている。他にも様々な名前で様々な分野に登場してきたようである。

Connes と Consani の論文で参照されているのは, Marty の 1934年の論文と Krasner の [Kra83] であるが, Marty の論文は この hyperstructure に関するwebsite で見ることができる。解像度は悪いが。

また association scheme も例として挙げられている。

• association scheme

Connes と Consani のアイデアと関連したものとして, Lorscheid と Thas の [LT] がある。\(\F _{1}\) 上の代数群を定義するために, crowd の概念を導入している。

• crowd

群の表現とは, group ring の表現だから, 5番目の視点は3番目の視点の一般化である。 また6番目も合わせて fusion category を有限群の一般化と見なす人もいる。似たような概念で group category というものもある。

• fusion category や group category

7番目の事実から, ホモトピー論的には分類空間を調べればよいことが分かる。 その方向からの一般化もいくつか考えられている。例えば, 有限群の場合は \(p\)-local finite group, Lie 群の場合は finite loop space (\(p\)-compact group) や \(p\)-local compact group など。

• finite loop space
• \(p\)-local finite group や \(p\)-local compact group

高次の圏を用いた群の概念の一般化もある。 まずは, \(2\)-category を用いたもの。

• \(2\)-group
• \(2\)-Lie group

Fiorenza と Schreiber と Stasheff [FSS12] は, quasicategory を用いた Lie群の一般化を考えている。

このような圏論的な一般化以外にも, 「演算を持った集合」の素朴な一般化も色々ある。 例えば2番目の性質を一般化したのが quandle や rack と呼ばれるものである。

• quandle とその変種
• あまり一般的でない代数的対象

References

[BGT12]

Emmanuel Breuillard, Ben Green, and Terence Tao. “The structure of approximate groups”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 116 (2012), pp. 115–221. arXiv: 1110 . 5008. url: https://doi.org/10.1007/s10240-012-0043-9.

[CC10]

Alain Connes and Caterina Consani. “From monoids to hyperstructures: in search of an absolute arithmetic”. In: Casimir force, Casimir operators and the Riemann hypothesis. Walter de Gruyter, Berlin, 2010, pp. 147–198. arXiv: 1006.4810.

[CC11]

Alain Connes and Caterina Consani. “The hyperring of adèle classes”. In: J. Number Theory 131.2 (2011), pp. 159–194. arXiv: 1001.4260. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2010.09.001.

[Dri90]

L. P. D. van den Dries. “Weil’s group chunk theorem: a topological setting”. In: Illinois J. Math. 34.1 (1990), pp. 127–139. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255988498.

[FSS12]

Domenico Fiorenza, Urs Schreiber, and Jim Stasheff. “Čech cocycles for differential characteristic classes: an \(\infty \)-Lie theoretic construction”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 16.1 (2012), pp. 149–250. arXiv: 1011.4735. url: http://projecteuclid.org/euclid.atmp/1358950853.

[Gre12]

Ben Green. “What is\(\ldots \) an approximate group?” In: Notices Amer. Math. Soc. 59.5 (2012), pp. 655–656. url: https://doi.org/10.1090/noti829.

[Kra83]

Marc Krasner. “A class of hyperrings and hyperfields”. In: Internat. J. Math. Math. Sci. 6.2 (1983), pp. 307–311. url: http://dx.doi.org/10.1155/S0161171283000265.

[Lit85]

G. L. Litvinov. “Hypergroups and hypergroup algebras”. In: Current problems in mathematics. Newest results, Vol. 26. Itogi Nauki i Tekhniki. Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow, 1985, pp. 57–106, 260. arXiv: 1109.6596.

[LT]

Oliver Lorscheid and Koen Thas. Towards the horizons of Tits’s vision – on band schemes, crowds and \(\F _1\)-structures. arXiv: 2305. 13809.

[Wil95]

N. J. Wildberger. “Finite commutative hypergroups and applications from group theory to conformal field theory”. In: Applications of hypergroups and related measure algebras (Seattle, WA, 1993). Vol. 183. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, pp. 413–434. url: https://doi.org/10.1090/conm/183/02075.