Quandle

Quandle とは, Eisermann の [Eis14] によると, 群の conjugation を抽象化した代数的構造であり, rack の特別なものである。 D. Joyce [Joy82] と Matveev [Mat82] により独立に導入されたものらしい。この2編の論文のタイトルからも分かるように, もともと結び目の理論へ応用するために考えられたものである。 それ以外にも様々な分野に応用があり, 様々な一般化も考えられている。

• quandle や rack などの一般化

代表的な例は, 群が自分自身に conjugation で作用することにより得られるものである。 他に群から作られるものとしては, 群 \(G\) の automorphism \(\varphi \) が与えられたとき \(g\lhd h=\varphi (gh^{-1})h\) で定義されるものがある。 Bardakov, Dey, Singh の [BDS17] では generalized Alexander quandle と呼ばれている。Joyce の論文や Clark らの [Cla+14; CSV16] に現れる。Bardakov らはその automorphism group を調べている。

逆に, quandle から群を作ることもできる。Akita の [Aki20] では, Eisermann の [Eis14] と Nosaka の [Nos17] が参照されている。

• adjoint group

上記の Eisermann の論文 [Eis14] は, quandle の被覆空間の理論を構築しようという試みである。 その motivation は quandle の(コ)ホモロジーを調べることにある。

• quandle や rack の(コ)ホモロジー

Free simplicial quandle のホモトピー型については, Lawson と Szymik の [LS] で調べられ, Milnor の free simplicial group について結果の類似が得られている。

• free quandle
• free simplicial quandle

Free quandle を free group を用いて構成する方法については, Joyce の [Joy82] や Krüger の thesis [Krü90] などに書かれている。

Knot や link の不変量として, quandle の cyclce を用いたものがある。Kabaya [Kab12] や Nosaka [Nos14] らにより, Dijkgraaf-Witten invariant との関係が調べられている。

Majid と Rietsch [MR13] は, 集合の圏での “Lie algebra” として, IP (inverse property) quandle という種類の quandle を導入している。 それを使うと群の covering が定義できるようである。

位相の入った topological quandle も考えられている。Rubinsztein [Rub07] によると, これも knot や link を調べるのに使えるようである。 Khovanov homology と knot の complement の基本群の \(\mathrm {SU}(2)\)-representation の成す空間の singular homology の関係を示唆する [JR] の中でも使われている。

• topological quandle

3次元トポロジーと数論の類似から, 数論的対象からも quandle が定義されても不思議ではないが, 実際 [Tak19] がある。

Henderson と Marcedo と Nelson は, [HMN06] で有限 order の quandle を全て見付けるための algorithm を考えている。

Manturov [Man02] により導入された virtual quandle というものもある。Kauffman と Manturov [KM05] は, virtual biquandle を導入している。

References

[Aki20]

Toshiyuki Akita. “The adjoint group of a Coxeter quandle”. In: Kyoto J. Math. 60.4 (2020), pp. 1245–1260. arXiv: 1702.07104. url: https://doi.org/10.1215/21562261-2019-0061.

[BDS17]

Valeriy G. Bardakov, Pinka Dey, and Mahender Singh. “Automorphism groups of quandles arising from groups”. In: Monatsh. Math. 184.4 (2017), pp. 519–530. arXiv: 1608.05178. url: https://doi.org/10.1007/s00605-016-0994-x.

[Cla+14]

W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, and Timothy Yeatman. “Quandle colorings of knots and applications”. In: J. Knot Theory Ramifications 23.6 (2014), pp. 1450035, 29. arXiv: 1312.3307. url: https://doi.org/10.1142/S0218216514500357.

[CSV16]

W. Edwin Clark, Masahico Saito, and Leandro Vendramin. “Quandle coloring and cocycle invariants of composite knots and abelian extensions”. In: J. Knot Theory Ramifications 25.5 (2016), pp. 1650024, 34. arXiv: 1407.5803. url: https://doi.org/10.1142/S0218216516500243.

[Eis14]

Michael Eisermann. “Quandle coverings and their Galois correspondence”. In: Fund. Math. 225.1 (2014), pp. 103–168. arXiv: math/0612459. url: http://dx.doi.org/10.4064/fm225-1-7.

[HMN06]

Richard Henderson, Todd Macedo, and Sam Nelson. “Symbolic computation with finite quandles”. In: J. Symbolic Comput. 41.7 (2006), pp. 811–817. arXiv: math/0508351. url: https://doi.org/10.1016/j.jsc.2006.03.002.

[Joy82]

David Joyce. “A classifying invariant of knots, the knot quandle”. In: J. Pure Appl. Algebra 23.1 (1982), pp. 37–65. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90077-9.

[JR]

Magnus Jacobsson and Ryszard L. Rubinsztein. Symplectic topology of \(\mathrm {SU}(2)\)-representation varieties and link homology, I: Symplectic braid action and the first Chern class. arXiv: 0806.2902.

[Kab12]

Yuichi Kabaya. “Cyclic branched coverings of knots and quandle homology”. In: Pacific J. Math. 259.2 (2012), pp. 315–347. arXiv: 1012.3729. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2012.259.315.

[KM05]

Louis H. Kauffman and Vassily O. Manturov. “Virtual biquandles”. In: Fund. Math. 188 (2005), pp. 103–146. arXiv: math/0411243. url: https://doi.org/10.4064/fm188-0-6.

[Krü90]

Bertolt Krüger. Automorphe Mengen und die artinschen Zopfgruppen. Vol. 207. Bonner Mathematische Schriften [Bonn Mathematical Publications]. Dissertation, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, Bonn, 1989. Universität Bonn, Mathematisches Institut, Bonn, 1990, p. 111.

[LS]

Tyler Lawson and Markus Szymik. The homotopy types of free racks and quandles. arXiv: 2106.01299.

[Man02]

V. O. Manturov. “On invariants of virtual links”. In: Acta Appl. Math. 72.3 (2002), pp. 295–309. url: https://doi.org/10.1023/A:1016258728022.

[Mat82]

S. V. Matveev. “Distributive groupoids in knot theory”. In: Mat. Sb. (N.S.) 119(161).1 (1982), pp. 78–88, 160.

[MR13]

S. Majid and K. Rietsch. “Lie theory and coverings of finite groups”. In: J. Algebra 389 (2013), pp. 137–150. arXiv: 1209.0045. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.02.042.

[Nos14]

Takefumi Nosaka. “On third homologies of groups and of quandles via the Dijkgraaf-Witten invariant and Inoue-Kabaya map”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.5 (2014), pp. 2655–2691. arXiv: 1210.6540. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.2655.

[Nos17]

Takefumi Nosaka. “Central extensions of groups and adjoint groups of quandles”. In: Geometry and analysis of discrete groups and hyperbolic spaces. RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B66. Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, 2017, pp. 167–184. arXiv: 1505.03077.

[Rub07]

Ryszard L. Rubinsztein. “Topological quandles and invariants of links”. In: J. Knot Theory Ramifications 16.6 (2007), pp. 789–808. arXiv: math/0508536. url: https://doi.org/10.1142/S0218216507005518.

[Tak19]

Nobuyoshi Takahashi. “Quandles associated to Galois covers of arithmetic schemes”. In: Kyushu J. Math. 73.1 (2019), pp. 145–164. arXiv: 1508.03937. url: https://doi.org/10.2206/kyushujm.73.145.