Quandle

Quandle とは, Eisermann の [Eis14] によると, 群の conjugation を抽象化した代数的構造であり, rack の特別なものである。 D. Joyce [Joy82] と Matveev [Mat82] により独立に導入されたものらしい。この2編の論文のタイトルからも分かるように, もともと 結び目の理論へ応用するために考えられたものである。 それ以外にも様々な分野に応用があり, 様々な一般化も考えられている。

• quandle や rack などの一般化

代表的な例は, 群が自分自身に conjugation で作用することにより得られるものである。 他に群から作られるものとしては, 群 \(G\) の automorphism \(\varphi \) が与えられたとき \(g\lhd h=\varphi (gh^{-1})h\) で定義されるものがある。 Bardakov, Dey, Singh の [BDS17] では generalized Alexander quandle と呼ばれている。Joyce の論文や Clark らの [Cla+14; CSV16] に現れる。Bardakov らはその automorphism group を調べている。

逆に, quandle から群を作ることもできる。Akita の [Aki20] では, Eisermann の [Eis14] と Nosaka の [Nos17] が参照されている。

• adjoint group

上記の Eisermann の論文 [Eis14] は, quandle の 被覆空間の理論を構築しようという試みである。 その motivation は quandle の(コ)ホモロジーを調べることにある。

• quandle covering
• quandle や rack の(コ)ホモロジー

Quandle の被覆の理論については, Even [Eve14] が Janelidze の categorical Galois theory [Jan90; Jan91; JK94; JK97] を用いて解釈できることを示している。その一般化を Renaud [Ren; Ren22] が考えている。

Free simplicial quandle のホモトピー型については, Lawson と Szymik の [LS] で調べられ, Milnor の free simplicial group について結果の類似が得られている。

• free quandle
• free simplicial quandle

Free quandle を free group を用いて構成する方法については, Joyce の [Joy82] や Krüger の thesis [Krü90] などに書かれている。

Knot や link からは quandle が作られ, knot や link の不変量として用いられる。 Kamada の [Kam02] によると, その構成は Joyce [Joy82] による。

• knot quandle

Bardakov ら [BSS19] は residually finite quandle の概念を導入し, free quandle や knot quandle が residually finite であることを示している。 その続編 [BSS20] では, link の場合も residually finite であることを示している。

• residually finite quandle

Majid と Rietsch [MR13] は, 集合の圏での “ Lie algebra” として, IP (inverse property) quandle という種類の quandle を導入している。 それを使うと群の covering が定義できるようである。

位相の入った topological quandle も考えられている。Rubinsztein [Rub07] によると, これも knot や link を調べるのに使えるようである。 Khovanov homology と knot の complement の基本群の \(\mathrm {SU}(2)\)- representation の成す空間の singular homology の関係を示唆する [JR] の中でも使われている。

• topological quandle

3次元トポロジーと数論の類似から, 数論的対象からも quandle が定義されても不思議ではないが, 実際 [Tak19] がある。

Henderson と Marcedo と Nelson は, [HMN06] で有限 order の quandle を全て見付けるための algorithm を考えている。

Manturov [Man02] により導入された virtual quandle というものもある。Kauffman と Manturov [KM05] は, virtual biquandle を導入している。

References

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[BSS19]

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