Bicategory

Bicategory とは, (strict) \(2\)-category の定義の条件を少し弱めたものである。そのために weak \(2\)-category と呼ばれることもある。

Lack と Paoli の [LP08] によると, bicategory についての基本的な文献は, Bénabou の [Bén67], Kelly と Street の [KS74], そして Street の [Str80] である。 もっと新しいものとしては, Leinster の [Lei] がある。 最近のものでは, Johnson と Yau の [JY21] もある。

Lack と Paoli は, その論文で bicategory の \(2\)-nerve を導入している。 他にも, small bicategory に対して nerve や分類空間をとる方法は色々考えらえている。

Bicategory も \(2\)-category と同様様々な場面で見かけるようになった。例えば, Landsman の [Lan01]を見るとよい。 以下のような例が詳しく説明してある:

  • object が ring, \(1\)-morphism が bimodule, \(2\)-morphism が bimodule の準同形, composition が tensor product, unit が canonical bimodule
  • object が \(C^*\)-algebra, \(1\)-morphism が Hilbert \(C^*\)-bimodule, \(2\)-morphism が \(C^*\)-bimodule の準同形, composition が Rieffel の tensor product, unit が canonical Hilbert bimodule
  • object が von Neumann algebra, \(1\)-morphism が correspondence, composition が Connes の tensor product, unit が standard form ([Bro03])
  • object が Lie groupoid, \(1\)-morphism が regular bibundle, composition が Hilsum-Skandalis の tensor product, unit が canonical bibundle
  • object が symplectic groupoid, \(1\)-morphism が regular symplectic bibundle, composition が Hilsum-Skandalis-Xu の tensor product, unit が canonical symplectic bibundle
  • object が integrable Poisson manifold, \(1\)-morphism が regular symplectic bimodule, composition が Xu の tensor product, unitが\(s\)-connected \(s\)-simply connected symplectic groupoid

他にも次のような例がある:

  • ある可換環 \(R\) の上の algebra \(A\) と coalgebra \(C\) を \(R\) 上 tensor する順序を入れ替える写像を objectとする bicategory [Ško]
  • Müger は [Müg03] で von Neumann algebra の factor から得られるいくつかの bicategory について考えている。

これらの例から, bicategory は, 森田同値の概念と関係が深いことが分かる。

双対的に, coalgebra と bicomodule でも bicategory ができる。

もちろんこのような, “bimodule 的なもの”を \(1\)-morphism とするもの以外にも, small category と functor と natural transformation の成す \(2\)-category のように, \(1\)-morphism が本当に “object の間の morphism” であるものもある。

最近では, bicategory に higher invertible morphism を追加した \((\infty ,2)\)-category を考えることもできるようになった。例えば, Haugseng [Hau17] は, algebra と bimodule と bimodule homomorphism の bicategory を \((\infty ,2)\)-category に拡張している。

Bicategory に対しては, monad や comonad の概念が一般化できる。Small category の成す bicategory の場合が通常の monad や comonad になる。 Street は [Str72]でこのことをまとめ, bicategory \(\bm {C}\) の monad の成す bicategory \(\category {Mnd}(\bm {C})\) を構成している。 それは, 更に Lack と の共著 [LS02] で, より大きな bicategory \(\category {EM}(\bm {C})\) に拡張された。

  • 一般の bicategory での monad や comonad

通常の category に対して成り立つ事実の bicategory に対する拡張もいろいろあるが, おそらく最も基本的なのは, bicategory に対 する Yoneda Lemma だろう。 Street の [Str74] にある。

  • bicategory に対する Yoneda Lemma

これは, bicategory が strict な \(2\)-category と bicategory として同値になるという coherence theorem の証明にも使える。

  • bicategory の coherence theorem

Niles Johnson は, [Joh] で, この bicategory の Yoneda Lemma は, Morita 同値を考える際にも有用であることを指摘している。 また, 2つの object の間の 1-morphism の成す圏が triangulated categorymodel category の構造を持つ場合を考えている。

  • triangulated bicategory
  • model bicategory

Johnson は, [Joh14] で bicategory での Azumaya object を考えているが, そこでは symmetric monoidal category の many-objectification である symmetric bicategory という概念が使われている。

  • symmetric bicategory

Monoidal structure を持つ bicategory, つまり monoidal bicategory やその symmetric version, symmetric monoidal bicategory というものもよく使われるからややこしい。

ある category の span から作られる bicategory も bimodule のなす bicategory の一種である。Lack, Walters, Wood [LWW10] はそのような bicategory で, もとの category が finite limit を持つようなものを特徴づけている。 そこで用いられているのは, Cartesian bicategory という構造である。

  • cartesian bicategory

Carboni と Walters [CW87] により ordered bicategory に対し定義されたが, その後 Carboni, Kelly, Walters, Wood の [Car+07] で, 一般の bicategory に定義が拡張されている。

Bicategory の作用を考えている人 [Bak] もいる。Bicategory の図式に対する Grothendieck construction (homotopy colimit) を考えている人 [CCG11] もいる。

Douglas と Henriques [DH]は, category の成す 2-category の中の bicategory object を internal bicategory と呼んで調べている。

Supercategory の bicategory版として superbicategory という構造も考えられる。Murfet の [Mur18] に登場する。

  • superbicategory

もっとも, Murfet の [Mur18] での主題は, cut system という bicategory と類似の構造である。

  • cut system

Matrix factorization などに使えるようである。

References

[Bak]

Igor Bakovic. The simplicial interpretation of bigroupoid 2-torsors. arXiv: 0902.3436.

[Bén67]

Jean Bénabou. “Introduction to bicategories”. In: Reports of the Midwest Category Seminar. Berlin: Springer, 1967, pp. 1–77.

[Bro03]

R. M. Brouwer. “A bicategorical approach to Morita equivalence for von Neumann algebras”. In: J. Math. Phys. 44.5 (2003), pp. 2206–2214. arXiv: math/0301353. url: https://doi.org/10.1063/1.1563733.

[Car+07]

A. Carboni, G. M. Kelly, R. F. C. Walters, and R. J. Wood. “Cartesian bicategories II”. In: Theory Appl. Categ. 19 (2007), pp. 93–124. arXiv: 0708.1921.

[CCG11]

P. Carrasco, A. M. Cegarra, and A. R. Garzón. “Classifying spaces for braided monoidal categories and lax diagrams of bicategories”. In: Adv. Math. 226.1 (2011), pp. 419–483. arXiv: 0907.0930. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.06.027.

[CW87]

A. Carboni and R. F. C. Walters. “Cartesian bicategories. I”. In: J. Pure Appl. Algebra 49.1-2 (1987), pp. 11–32. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90121-6.

[DH]

Christopher L. Douglas and André G. Henriques. Internal bicategories. arXiv: 1206.4284.

[Hau17]

Rune Haugseng. “The higher Morita category of \(\mathbb {E}_n\)-algebras”. In: Geom. Topol. 21.3 (2017), pp. 1631–1730. arXiv: 1412.8459. url: https://doi.org/10.2140/gt.2017.21.1631.

[Joh]

Niles Johnson. Morita Theory For Derived Categories: A Bicategorical Perspective. arXiv: 0805.3673.

[Joh14]

Niles Johnson. “Azumaya objects in triangulated bicategories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 9.2 (2014), pp. 465–493. arXiv: 1005.4878. url: http://dx.doi.org/10.1007/s40062-013-0035-6.

[JY21]

Niles Johnson and Donald Yau. 2-dimensional categories. Oxford University Press, Oxford, 2021, pp. xix+615. isbn: 978-0-19-887138-5; 978-0-19-887137-8. arXiv: 2002.06055. url: https://doi.org/10.1093/oso/9780198871378.001.0001.

[KS74]

G. M. Kelly and Ross Street. “Review of the elements of \(2\)-categories”. In: Category Seminar (Proc. Sem., Sydney, 1972/1973). Berlin: Springer, 1974, 75–103. Lecture Notes in Math., Vol. 420.

[Lan01]

N. P. Landsman. “Bicategories of operator algebras and Poisson manifolds”. In: Mathematical physics in mathematics and physics (Siena, 2000). Vol. 30. Fields Inst. Commun. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2001, pp. 271–286. arXiv: math-ph/0008003.

[Lei]

Tom Leinster. Basic Bicategories. arXiv: math/9810017.

[LP08]

Stephen Lack and Simona Paoli. “2-nerves for bicategories”. In: \(K\)-Theory 38.2 (2008), pp. 153–175. arXiv: math/0607271. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-007-9013-2.

[LS02]

Stephen Lack and Ross Street. “The formal theory of monads. II”. In: J. Pure Appl. Algebra 175.1-3 (2002). Special volume celebrating the 70th birthday of Professor Max Kelly, pp. 243–265. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00137-8.

[LWW10]

Stephen Lack, R. F. C. Walters, and R. J. Wood. “Bicategories of spans as Cartesian bicategories”. In: Theory Appl. Categ. 24 (2010), No. 1, 1–24. arXiv: 0910.2996.

[Müg03]

Michael Müger. “From subfactors to categories and topology. I. Frobenius algebras in and Morita equivalence of tensor categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 180.1-2 (2003), pp. 81–157. arXiv: math/0111204. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00247-5.

[Mur18]

Daniel Murfet. “The cut operation on matrix factorisations”. In: J. Pure Appl. Algebra 222.7 (2018), pp. 1911–1955. arXiv: 1402.4541. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2017.08.014.

[Ško]

Zoran Škoda. Bicategory of entwinings. arXiv: 0805.4611.

[Str72]

Ross Street. “The formal theory of monads”. In: J. Pure Appl. Algebra 2.2 (1972), pp. 149–168. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(72)90019-9.

[Str74]

Ross Street. “Fibrations and Yoneda’s lemma in a \(2\)-category”. In: Category Seminar (Proc. Sem., Sydney, 1972/1973). Berlin: Springer, 1974, 104–133. Lecture Notes in Math., Vol. 420.

[Str80]

Ross Street. “Fibrations in bicategories”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 21.2 (1980), pp. 111–160.