2-categoryやそれに類する構造の分類空間

\(2\)-category の分類空間を構成する方法には, いくつかの試みがある。例えば, Carrasco と Cegarra と Garzón の [CCG10] に様々な構成がまとめて比較されている。他には, Bullejos とCegarra による preprint や [BFB05] がある。

Strict \(2\)-category の場合には, 代表的なのは次の二つの構成だろう。

• \(2\)-category \(C\) を small category の圏で enrich された圏とみなし, その2つの object \(x,y\) に対し, その間の morphism の成す small category \(C(x,y)\) の分類空間 \(BC(x,y)\) を取ることにより topological categoryとし, その分類空間をとる。
• geometric nerve あるいは Duskin nerve (Duskin [Dus02] や Street [Str87])

これら2つの構成が同じhomotopy typeを与えるか, というのは自然な問題であるが, \(2\)-groupoid の場合に Moerdijk と Svensson [MS93] により, 一般の \(2\)-category の場合には Bullejos と Cagerra [BC03] により証明されている。

Lack と Paoli [LP08] は, bicategory に対し small category の category での simplicial object を対応させることを考えている。彼等は, \(2\)-nerve と呼んでいる。

• \(2\)-nerve

更に, Horel [Hor] はそこから Segal category, すなわち \((\infty ,1)\)-category を構成すること を考えている。元になっている bicategory は, category with cofibrant objects から Weiss の [Wei99] により得られてものであるが。

他にも, bicategory に対する nerve は様々なものがあり, Carrasco と Cegarra と Garzón の [CCG10] では, 10種類のものが比較されている。そして, それらが全てホモトピー同値であることが示されている。

Small category の場合に nerve と関係が深いのが model structure であるが, Moerdijk と Svensson は, \(2\)-groupoid の圏に モデル圏の構造を定義していて, その結果は, Noohi [Noo07] により \(2\)-groupoid の間の “mapping space” の構成に用いられている。

QuillenのTheorem A や Grothendieck construction に対する Thomason の homotopy colimit theorem の類似などについては, Cegarra の [Ceg11] や del Hoyo の [Hoy12] などがある。 Cegarra と Heredia の [CHa] で, より一般的な場合が証明されている。

Topological bicategory の Duskin nerve の幾何学的実現は, Baas と Bökstedt と Kro [BBK12] により, 適当な条件の下で “bicategory bundle” を分類することが示されている。Bakovic と Jurco の [BJ] では, Duskin nerve を元に classifying topos が構成されている。

del Hoyo [Hoy12] は, \(2\)-category \(C\) の分類空間のある object \(x\) に関する loop空間が, \(C(x,x)\) の分類空間とホモトピー同値であることを示し ている。

Symmetric monoidal bicategory の分類空間が \(E_{\infty }\) structure を持つことは, Gurski と Osorno の [GO] で示されている。

\(3\)-category (tricategory) の分類空間については, Cegarra と Heredia の [CHb] で考えられている。

References

[BBK12]

Nils A. Baas, Marcel Bökstedt, and Tore August Kro. “Two-categorical bundles and their classifying spaces”. In: J. K-Theory 10.2 (2012), pp. 299–369. arXiv: math/0612549. url: http://dx.doi.org/10.1017/is012001012jkt181.

[BC03]

M. Bullejos and A. M. Cegarra. “On the geometry of 2-categories and their classifying spaces”. In: \(K\)-Theory 29.3 (2003), pp. 211–229. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:KTHE.0000006921.50151.00.

[BFB05]

M. Bullejos, E. Faro, and V. Blanco. “A full and faithful nerve for 2-categories”. In: Appl. Categ. Structures 13.3 (2005), pp. 223–233. arXiv: math/0406615. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-005-2957-6.

[BJ]

Igor Bakovic and Branislav Jurco. The classifying topos of a topological bicategory. arXiv: 0902.1750.

[CCG10]

Pilar Carrasco, Antonio M. Cegarra, and Antonio R. Garzón. “Nerves and classifying spaces for bicategories”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.1 (2010), pp. 219–274. arXiv: 0903.5058. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.219.

[Ceg11]

A. M. Cegarra. “Homotopy fiber sequences induced by 2-functors”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.4 (2011), pp. 310–334. arXiv: 0909.4229. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.04.022.

[CHa]

A. M. Cegarra and B. A. Heredia. Homotopy colimits of 2-functors. arXiv: 1504.06114.

[CHb]

Antonio M. Cegarra and Benjamín A. Heredia. Geometric Realizations of Tricategories. arXiv: 1203.3664.

[Dus02]

John W. Duskin. “Simplicial matrices and the nerves of weak \(n\)-categories. I. Nerves of bicategories”. In: Theory Appl. Categ. 9 (2001/02). CT2000 Conference (Como), pp. 198–308.

[GO]

Nick Gurski and Angélica M. Osorno. Infinite loop spaces, and coherence for symmetric monoidal bicategories. arXiv: 1210.1174.

[Hor]

Geoffroy Horel. Brown categories and bicategories. arXiv: 1506.02851.

[Hoy12]

Matias L. del Hoyo. “On the loop space of a 2-category”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.1 (2012), pp. 28–40. arXiv: 1005.1300. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.05.001.

[LP08]

Stephen Lack and Simona Paoli. “2-nerves for bicategories”. In: \(K\)-Theory 38.2 (2008), pp. 153–175. arXiv: math/0607271. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-007-9013-2.

[MS93]

Ieke Moerdijk and Jan-Alve Svensson. “Algebraic classification of equivariant homotopy \(2\)-types. I”. In: J. Pure Appl. Algebra 89.1-2 (1993), pp. 187–216. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(93)90094-A.

[Noo07]

Behrang Noohi. “Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.1 (2007), pp. 75–106. arXiv: math/0512106. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1175791088.

[Str87]

Ross Street. “The algebra of oriented simplexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 49.3 (1987), pp. 283–335. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90137-X.

[Wei99]

Michael Weiss. “Hammock localization in Waldhausen categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 138.2 (1999), pp. 185–195. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(98)00009-7.