\(C^*\)-algebra を object とし, \(KK\)-theory を morphism の集合とすると, Kasparov product を
composition として, Abel群の category で enrich されたcategory ができる。これを Kasparov category
と呼ぶ。Equivariant \(KK\)-theory を用いた version もある。
- equivariant Kasparav category
文献としては, まず Meyer と Nest の [MN06] を見るべきだろう。 Kasparov category が triangulated
category の構造を持つことを示している。彼等によると, \(C^*\)-algebra の圏の triangulated category の構造が考えられたのは,
Anders Thom の thesis が最初らしい。Meyer と Nest は, [MN09] で位相空間上の \(C^*\)-algebra
に対しても類似のことが成り立つことを証明している。Arano と Kubota [AK18] は \(\sigma \)-\(C^*\)-algebra の場合も, triangulated
category になることを示している。
- Kasparov category の triangulated category の構造
Meyer は, そのような ホモロジー代数的 (ホモトピー代数的?) 視点から \(KK\)-theory を扱うのがよいと考えているようである。[Mey08a]
という survey を書いている。 Meyer と Nest の [MN10] も見るとよい。2007年12月6日に数理研で聞いた B. Keller
の話によると, derivator を用いた Tabuada による dg category の universal additve functor の構成は,
この Meyer と Nest の仕事が一つの origin であるらしい。 Meyer 自身も \(KK\)理論の Kasparov category から
triangulated category を調べるアイデアを得ている [Mey08b] ようである。
Dell’Ambrogio [Del] は, Kasparov category の \(\bbC \) で生成された triangulated subcategory を
bootstrap category と呼んでいる。 元々は universal coefficient theorem が成り立つような「良いsubcategory」
として Rosenberg と Schochet [RS87] により考えられたもののようである。
Dell’Ambrogio は, その localizing subcategory を調べているが, こうなるともうほとんどホモロジー代数である。
Mahanta は, [Mah] で Kasparov category と dg category の category を関連づけることを考えている。
Kasparov category を triangulated category として扱うことは, noncommutative space
上のD-brane を考える際にも有効 [Bro+09; Bro+] らしい。
また, Kasparov category を, 更に spectrum の category で enrich された category, つまり spectral
category に拡張することも考えられている。Mitchener の [Mita; Mitb] など。 モデル圏によるアプローチとしては,
Joachim と Johnson の [JJ06]がある。 彼ら は, \(C^*\)-algebra を拡張したところで, そのホモトピー圏が Kasparov
category (の拡張) になるものを構成している。つまり, Kasparov category の stable model category による
enhancement を構成したということである。
Kontsevich は [Kon09] で Kasparov category を noncommutative stable homotopy
theory と考えるとよいと言っているが, Mitchener や Joachim と Johnson の仕事はそれにうまく合っている。
このように, 作用素環論にホモロジー代数やホモトピー代数の概念や道具を導入するという流れは, どんどん大きくなってきているように思う。
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