Cactus Groups

種数 \(0\) の 実代数曲線の moduli space の Deligne-Mumford compactification \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}(\R )}\) の 基本群が, braid 群と似た性質を持つことを, 最初に発見したのは誰だろうか?

Cactus group という名前を付けたのは Henriques と Kamnitzer [HK06] だと思うが, そこでは, Devadoss の [Dev99] と Davis, Januskiewicz, Scott の [DJS03] が挙げられているので, 恐らくこの2つの論文で調べられたのが最初だろう。 文献としては, Henriques と Kamnitzer の論文の他に, Henriques の短かい解説 [Hen] がある。

• cactus group \(J_n\) と pure cactus group \(PJ_n\)

この名前は, \(\mathcal {M}_{0,n}(\R )\) の元を円周 (\(\RP ^1\)) 上に\(n\)個の marked point が付いたものとみなしたとき, \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}(\R )}\) の元がそれらをいくつか接するようにくっつけたもので, ウチワサボテンのような形をしているからである。

文献として登場したのは, Devadoss や Davis, Januskiewicz, Scott の論文の方が先であるが, 一般的になったのは Henriques と Kamnitzer の仕事に依る, と思う。 Henriques と Kamnitzer の発見は, braid group が braided monoidal category と関係しているように, cactus group が coboundary category と関係していることであるが, Azenhas, Feller, Torres の [AFT] によると, そのアイデアは Berenstein が Lie algebra の表現の crystal の成す category に commutator を定義しようとしたことに依る, らしい。 文献は挙げられていないが。

Braid 群が, 対称群を Coxeter group に一般化することで Artin 群に一般化されるように, cactus group を一般化することができる。 既に Davis, Januskiewicz, Scott の [DJS03] で考えられている。 名前は mock reflection group であるが。 例えば, Losev の [Los19] などで登場する。 Chmutov と Glick と Pylyavskyy [CGP20] は, cactus group と Berenstein と Kirillov の仕事 [KB95]で登場する群 (Berenstein-Kirillov group) との関係を発見している。

• mock reflection group

Braid を閉じると link ができるように, cactus を閉じてできたものを Mostovoy と Rincón-Prat [MR25] は cactus doodle と呼んで調べている。

• cactus doodle

Torres [Tor24] は virtual cactus group を定義している。

• virtual cactus group

References

[AFT]

Olga Azenhas, Mojdeh Tarighat Feller, and Jacinta Torres. Symplectic cacti, virtualization and Berenstein-Kirillov groups. arXiv: 2207.08446.

[CGP20]

Michael Chmutov, Max Glick, and Pavlo Pylyavskyy. “The Berenstein-Kirillov group and cactus groups”. In: J. Comb. Algebra 4.2 (2020), pp. 111–140. arXiv: 1609.02046. url: https://doi.org/10.4171/JCA/36.

[Dev99]

Satyan L. Devadoss. “Tessellations of moduli spaces and the mosaic operad”. In: Homotopy invariant algebraic structures (Baltimore, MD, 1998). Vol. 239. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 91–114. arXiv: math/9807010.

[DJS03]

M. Davis, T. Januszkiewicz, and R. Scott. “Fundamental groups of blow-ups”. In: Adv. Math. 177.1 (2003), pp. 115–179. arXiv: math/0203127. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(03)00075-6.

[Hen]

André Henriques. An action of the cactus group. arXiv: 0705.3000.

[HK06]

André Henriques and Joel Kamnitzer. “Crystals and coboundary categories”. In: Duke Math. J. 132.2 (2006), pp. 191–216. arXiv: math/0406478. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13221-0.

[KB95]

A. N. Kirillov and A. D. Berenstein. “Groups generated by involutions, Gel\('\) fand-Tsetlin patterns, and combinatorics of Young tableaux”. In: Algebra i Analiz 7.1 (1995), pp. 92–152.

[Los19]

Ivan Losev. “Cacti and cells”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 21.6 (2019), pp. 1729–1750. arXiv: 1506.04400. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/871.

[MR25]

Jacob Mostovoy and Andrea Rincón-Prat. “Cactus doodles”. In: Bol. Soc. Mat. Mex. (3) 31.1 (2025), Paper No. 3, 16. arXiv: 2203.08742. url: https://doi.org/10.1007/s40590-024-00681-w.

[Tor24]

Jacinta Torres. “The virtual cactus group and Littelmann paths”. In: Electron. J. Combin. 31.1 (2024), Paper No. 1.14, 13. arXiv: 2302.11560. url: https://doi.org/10.37236/12034.