代数的な道具

代数的トポロジーという名前の通り, この分野では代数的な道具は重要である。 例えば, ホモロジー代数の発展に Eilenbergが大きく寄与したことからも分かるように, ホモロジー代数は代数的 トポロジーに一つの起源を持つと言っていいだろう。 Hopf代数も, 最初にこの分野で研究された概念で ある。

もちろん群は使うが, 群になっていないものや環の条件の 一部しかみたさないものも扱う。

• あまり一般的でない代数的対象
• 各種 (次数付き) 代数
• 抽象的なホモロジー代数
• formal algebra

様々な代数的対象を扱うときに, category theory の言葉を使うと便利である。例えば, Hopf algebroid の定義など。そのような視点から書かれた本として Bergman の [Ber15] がある。 Bergmanのホー ムページからPDFファイル を download できる。

逆に, 群のコホモロジーのように, cohomology operationのような, 代数的 トポロジーの道具が使われるようになった分野もある。 群\(G\)のコホモロジーは, その分類空間 \(BG\) の位相空間とし てのコホモロジーと考えることができるためである。また, ホモロジー代数の 現代的な一般化では, model categoryのような ホモトピー論的な概念が中心的役割を果している。

• 群のコホモロジー
• ホモトピー代数

References

[Ber15]

George M. Bergman. An invitation to general algebra and universal constructions. Second. Universitext. Springer, Cham, 2015, pp. x+572. isbn: 978-3-319-11477-4; 978-3-319-11478-1. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-11478-1.