Artificial Intelligence

AIの急速な普及は, 当然数学にも大きな影響を与えている。 その影響には, 当然二つの方向がある。一つは, AI を数学に活用すること, もう一つは数学をAIの開発に活用することである。

前者については, まず この Quanta の記事がある。 Nature にも deep learning を数学に使うことについての記事 [Dav+21] が出ている。

MathOverflow でも, AI を数学の研究に使うことについては, 何人かの人が質問している。 Kalai の質問は, AI が数学の発展に貢献した例を聞いている。 そのコメントの一つで 参照されている質問に, 他の同様の質問へのリンクがまとめられている。

He の [He23] は, 数学の構造を学習させる試みについての review である。 Williamson による deep learning をどのように数学の研究に使っていくか, についての論説 [Wil24] もある。その最後の section にいくつか例があるが, そこでは組合せ論での反例の発見, 予想を立てる, 計算の方向を決める, などが挙げられている。

私が目にした具体例を挙げると, 以下のようになる。

• 結び目についての Juhász ら の [Dav+24] や Craven らの [JKP19; CJK21; Cra+23; Cra+] や Kauffman らの [KRT22]
• lattice polytope についての Hofscheier らの [Bao+23; CHK23]
• Jian ら [JPR] の Cheeger constant の研究
• Calabi-Yau \(3\)-fold の研究 [KS17; Bul+; Bul+19; Bro+20b; Bro+20a]

AIの開発に数学を使うことも当然活発に行われている。 トポロジーの考え方も有用なようである。例えば, neural network のモデルとして, simplicial complex や cell complex が使われるようになっている。

• neural network
• deep learning

そして, geometric deep learning や topological deep learning といったアプローチも登場している。

• geometric deep learning [NW19; Bro+]
• topological deep learning [HI; Pap+]

どうやら, deep learning への topological approach は, Carlsson と Gabrielsson [CG20] により提唱されたようである。

このように, 高度な数学が AI の開発に重要な役割を果すようになると, AI 産業は, 数学を身につけた人の就職先としても有望かもしれない。 最近 AI に category theorist が多数関っていることについて, Baez が この blog post に書いている。

References

[Bao+23]

Jiakang Bao et al. “Polytopes and machine learning”. In: Int. J. Data Sci. Math. Sci. 1.2 (2023), pp. 181–211. arXiv: 2109.09602. url: https://doi.org/10.1142/S281093922350003X.

[Bro+]

Michael M. Bronstein, Joan Bruna, Taco Cohen, and Petar Veličković. Geometric Deep Learning: Grids, Groups, Graphs, Geodesics, and Gauges. arXiv: 2104.13478.

[Bro+20a]

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[Bro+20b]

Callum R. Brodie, Andrei Constantin, Rehan Deen, and Andre Lukas. “Machine learning line bundle cohomology”. In: Fortschr. Phys. 68.1 (2020), pp. 1900087, 14. arXiv: 1906.08730. url: https://doi.org/10.1002/prop.201900087.

[Bul+]

Kieran Bull, Yang-Hui He, Vishnu Jejjala, and Challenger Mishra. Machine Learning CICY Threefolds. arXiv: 1806.03121.

[Bul+19]

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[CG20]

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[CHK23]

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[Cra+]

Jessica Craven, Mark Hughes, Vishnu Jejjala, and Arjun Kar. (K)not machine learning. arXiv: 2201.08846.

[Cra+23]

Jessica Craven, Mark Hughes, Vishnu Jejjala, and Arjun Kar. “Learning knot invariants across dimensions”. In: SciPost Phys. 14.2 (2023), Paper No. 021, 28. arXiv: 2112.00016. url: https://doi.org/10.21468/scipostphys.14.2.021.

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[KRT22]

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[KS17]

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[Pap+]

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[Wil24]

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