凸集合

Euclid空間の部分空間で凸になっているものは, 扱いが楽である。例えば, Euclid 単体的複体や, より一般に凸多面体を貼り合せてできているものは, それぞれの凸多面体上で写像やホモトピーを作ってから貼り合せればよいが, 凸多面体上では内分点を取ることができるので, ホモトピーを作るのが楽である。

• 凸多面体

Kahn と Kalai の Borsuk 予想の反例 [KK93]のように, Euclid空間の凸集合でも直感に反することが色々起きるようで面白い。この Borsuk 予想に関係したことについては, この Kalai の blog post を見るとよい。

• Borsuk 予想

有限次元実ベクトル空間の compact convex subset は convex body と呼ばれるようである。 Bonnesen と Fenchel の [BF87], Burago と Zalgaller の [BZ88], Schneider の [Sch14] などのの本がある。

• convex body

凸集合は, Euclid空間の部分空間に限らず抽象的に定義することができる。 例えば, 位相のように, ある条件をみたす部分集合の族として convexity を定義している人がいる。Kenney [Ken] によると, そのような定義の最初は, Kay と Womble [KW71] によるもののようである。 現在では, Dawson [Daw87] の定義を用いるのが普通のようである。 Kenney は, 更に位相を持つ topological convexity space を考えている。

• convexity set
• topological convexity space

この\(n\)-Category Caféのpost では, アフィン空間や凸集合を operad 上の algebra として定義することが議論されている。

このような抽象的な凸集合の扱いは, かなり古くから様々な人が独立に思いついてきたようである。 Fritz の [Fri] もそのような論文の一つで, version 3 の最初には, いろんな人の仕事の焼き直しにすぎない, ということが書いてある。 そこでは, Stone の [Sto49] が最初だろう, と書いてある。 他に上げられているのは, universal algebra を使った Neumann の [Neu70], 量子力学への応用を考えた Gudder の[Gud73; Gud79; GS80], abstract convex set の圏を考えた Swirszczの [Świ74] である。

一方, MathOverflow でも質問があり, その回答では, Romanowska の仕事が上げられている。例えば, Romanowska と Smith の本 [RS02] がある。 nLab のページも有用である。

Sturtz [Stu18] は Börgerと Kemp [BK94] の本の定義を使っている。 また別の algebraic theory を用いたアプローチとして Meng の thesis [Men88] を挙げている。

Sturtz は, 最初この論文で Giry monad [Gir82] という measurable space の category 上の monad 上 の algebra の圏が convex space の圏と同値であると主張したが, Crhák [Crha; Crhb] により間違いであることが指摘されている。 Sturtz は最新版では, Giry monad 上の algebra の圏は “tame convex measurable space” の圏と同値であると修正している。

• Giry monad

References

[BF87]

T. Bonnesen and W. Fenchel. Theory of convex bodies. Translated from the German and edited by L. Boron, C. Christenson and B. Smith. BCS Associates, Moscow, ID, 1987, pp. x+172. isbn: 0-914351-02-8.

[BK94]

Reinhard Börger and Ralf Kemper. “Cogenerators for convex spaces”. In: Appl. Categ. Structures 2.1 (1994), pp. 1–11. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00878499.

[BZ88]

Yu. D. Burago and V. A. Zalgaller. Geometric inequalities. Vol. 285. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Translated from the Russian by A. B. Sosinskiı̆, Springer Series in Soviet Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1988, pp. xiv+331. isbn: 3-540-13615-0. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-07441-1.

[Crha]

Tomas Crhak. A note on \(σ\)-algebras on sets of affine and measurable maps to the unit interval. arXiv: 1803.07956.

[Crhb]

Tomas Crhak. On functors from category of Giry algebras to category of convex spaces. arXiv: 1804.01345.

[Daw87]

Robert J. MacG. Dawson. “Limits and colimits of convexity spaces”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 28.4 (1987), pp. 307–328.

[Fri]

Tobias Fritz. Convex Spaces I: Definition and Examples. arXiv: 0903. 5522.

[Gir82]

Michèle Giry. “A categorical approach to probability theory”. In: Categorical aspects of topology and analysis (Ottawa, Ont., 1980). Vol. 915. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin-New York, 1982, pp. 68–85.

[GS80]

S. Gudder and F. Schroeck. “Generalized convexity”. In: SIAM J. Math. Anal. 11.6 (1980), pp. 984–1001. url: http://dx.doi.org/10.1137/0511087.

[Gud73]

S. Gudder. “Convex structures and operational quantum mechanics”. In: Comm. Math. Phys. 29 (1973), pp. 249–264.

[Gud79]

Stanley P. Gudder. “A general theory of convexity”. In: Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 49 (1979), 89–96 (1981). url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02925185.

[Ken]

Toby Kenney. Stone Duality for Topological Convexity Spaces. arXiv: 2201.09819.

[KK93]

Jeff Kahn and Gil Kalai. “A counterexample to Borsuk’s conjecture”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29.1 (1993), pp. 60–62. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1993-00398-7.

[KW71]

David C. Kay and Eugene W. Womble. “Axiomatic convexity theory and relationships between the Carathéodory, Helly, and Radon numbers”. In: Pacific J. Math. 38 (1971), pp. 471–485. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102970059.

[Men88]

Xiao-qing Meng. Categories of convex sets and of metric spaces, with applications to stochastic programming and related areas. Thesis (Ph.D.)–State University of New York at Buffalo. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1988, p. 135.

[Neu70]

Walter D. Neumann. “On the quasivariety of convex subsets of affine spaces”. In: Arch. Math. (Basel) 21 (1970), pp. 11–16.

[RS02]

Anna B. Romanowska and Jonathan D. H. Smith. Modes. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2002, pp. xii+623. isbn: 981-02-4942-X. url: http://dx.doi.org/10.1142/4953.

[Sch14]

Rolf Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. expanded. Vol. 151. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 2014, pp. xxii+736. isbn: 978-1-107-60101-7.

[Sto49]

M. H. Stone. “Postulates for the barycentric calculus”. In: Ann. Mat. Pura Appl. (4) 29 (1949), pp. 25–30.

[Stu18]

Kirk Sturtz. “The factorization of the Giry monad”. In: Adv. Math. 340 (2018), pp. 76–105. arXiv: 1707 . 00488. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.007.

[Świ74]

T. Świrszcz. “Monadic functors and convexity”. In: Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 22 (1974), pp. 39–42.