凸集合

Euclid空間の部分空間で凸になっているものは, 扱いが楽である。例えば, Euclid 単体的複体や, より一般に 凸多面体を貼り合せてできているものは, それぞれの凸多面体上で写像やホモトピーを作ってから貼り合せればよいが, 凸多面体上では内分点を取ることができるので, ホモトピーを作るのが楽である。

• 凸多面体

凸集合については, 当然 Ziegler の本 [Zie95] や Grünbaum の本 [Grü03] のように凸多面体の本に書かれている。Gallier [Gal] は, 他にも Berger の本 [Ber87] や Valentine の本 [Val64] を挙げている。 Porta Mana [Man] は他にも Klee の [Kle71] や Webster の [Web94] を挙げている。

Kahn と Kalai の Borsuk 予想の反例 [KK93] のように, Euclid 空間の凸集合でも直感に反することが色々起きるようで面白い。この Borsuk 予想に関係したことについては, この Kalai の blog post を見るとよい。

• Borsuk 予想

有限次元実ベクトル空間の compact convex subset は convex body と呼ばれるようである。 Bonnesen と Fenchel の [BF87], Burago と Zalgaller の [BZ88], Schneider の [Sch14] などの本がある。

• convex body

凸多面体については scissors congruence group の高次版が, Zakharevich [Zak12; Zak13; Zak17] により構成されているが, その convex body 版を Hepworth [Hep23] が考えようとしている。

凸集合は, Euclid空間の部分空間に限らず抽象的に定義することもできる。 また, そのような定義にはいくつかのアプローチがある。

• abstract convex set

References

[Ber87]

Marcel Berger. Geometry. II. Universitext. Translated from the French by M. Cole and S. Levy. Berlin: Springer-Verlag, 1987, pp. x+406. isbn: 3-540-17015-4. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-93816-3.

[BF87]

T. Bonnesen and W. Fenchel. Theory of convex bodies. Translated from the German and edited by L. Boron, C. Christenson and B. Smith. BCS Associates, Moscow, ID, 1987, pp. x+172. isbn: 0-914351-02-8.

[BZ88]

Yu. D. Burago and V. A. Zalgaller. Geometric inequalities. Vol. 285. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Translated from the Russian by A. B. Sosinskiı̆, Springer Series in Soviet Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1988, pp. xiv+331. isbn: 3-540-13615-0. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-07441-1.

[Gal]

Jean Gallier. Notes on Convex Sets, Polytopes, Polyhedra, Combinatorial Topology, Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations. arXiv: 0805.0292.

[Grü03]

Branko Grünbaum. Convex polytopes. Second. Vol. 221. Graduate Texts in Mathematics. Prepared and with a preface by Volker Kaibel, Victor Klee and Günter M. Ziegler. Springer-Verlag, New York, 2003, pp. xvi+468. isbn: 0-387-00424-6; 0-387-40409-0. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0019-9.

[Hep23]

Richard Hepworth. “Groups of convex bodies”. In: Geom. Dedicata 217.4 (2023), Paper No. 76, 17. arXiv: 2207.14021. url: https://doi.org/10.1007/s10711-023-00806-x.

[KK93]

Jeff Kahn and Gil Kalai. “A counterexample to Borsuk’s conjecture”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29.1 (1993), pp. 60–62. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1993-00398-7.

[Kle71]

Victor Klee. “What is a convex set?” In: Amer. Math. Monthly 78 (1971), pp. 616–631. url: http://dx.doi.org/10.2307/2316569.

[Man]

P. G. L. Porta Mana. Conjectures and questions in convex geometry (of interest for quantum theory and other physical statistical theories). arXiv: 1105.3238.

[Sch14]

Rolf Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. expanded. Vol. 151. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 2014, pp. xxii+736. isbn: 978-1-107-60101-7.

[Val64]

Frederick A. Valentine. Convex sets. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York-Toronto-London, 1964, pp. ix+238.

[Web94]

Roger Webster. Convexity. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994, pp. xviii+444. isbn: 0-19-853147-8.

[Zak12]

Inna Zakharevich. “Scissors congruence as \(K\)-theory”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 181–202. arXiv: 1101.3833. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a9.

[Zak13]

Inna Zakharevich. “Simplicial polytope complexes and deloopings of \(K\)-theory”. In: Homology Homotopy Appl. 15.2 (2013), pp. 301–330. arXiv: 1102.4278. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2013.v15.n2.a18.

[Zak17]

Inna Zakharevich. “The \(K\)-theory of assemblers”. In: Adv. Math. 304 (2017), pp. 1176–1218. arXiv: 1401.3712. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.08.045.

[Zie95]

Günter M. Ziegler. Lectures on polytopes. Vol. 152. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. x+370. isbn: 0-387-94365-X. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8431-1.