Noncommutative Stable Homotopy Theory

Kasparov の bivariant \(K\)-theory を用いると, \(C^*\)-algebra を object に持つ triangulated category (Kasparov category) ができることを示したのは, Meyer と Nest [MN06] である。有限 CW複体 は compact Hausdorff space なので, 可換な \(C^*\)-algebra に対応し, よって object として有限CW複体を含む triangulated category ができたことになる。 残念ながら, morphism が異なるので, 有限CW複体の安定ホモトピー圏を subcategory として含んでいるわけでないが。

そのような有限CW複体の安定ホモトピー圏を含む triangulated category の構成に成功したのは, Connes と Higson [CH90], そして Dădălart [Dăd94] である。その \(C^*\)-algebra 的な意味については, Houghton-Larsen と Thomsen [HT99] により与えられている。

Connes らは, stable (co)homotopy group を拡張する bivariant homology theory を構成したのであるが, それを元に A. Thom が thesis [Tho03] で noncommutative stable homotopy category を triangulated category として構成したようである。より精密には, enhanced triangulated categoy として構築すべきであるが, それは Mahanta の [Mah15a] の section 4 で stable \((\infty ,1)\)-category (quasicategory) を用いて行なわれている。 Unstable version も書かれている。

Eilers ら [ELP98] の noncommutative CW-complex に基いて, noncommutative CW-spectrum の成す stable \((\infty ,1)\)-category を構築した Arone, Barnea, Schlank の [ABS22; ABS23] もある。

• \((\infty ,1)\)-category of noncommutative (pointed compact Hausdorff) spaces
• stable \((\infty ,1)\)-category of noncommutative finite CW complexes
• stable \((\infty ,1)\)-category of noncommutative spectra.

Arone らは, noncommutative spectrum の成す stable \((\infty ,1)\)-category が, ある subcategory 上の spectral presheaf の成す圏として表せることを示している。その別証として, Blom [Blo] によるものがある。

当然, 通常の spectrum の圏の安定ホモトピー論がどこまで拡張できるかを, 考えるべきだろう。 例えば, Mahanta は [Mah15b] で Freyd の generating hypothesis について考えている。

Mahanta の [Mah15a] での目的は, noncommutative stable homotopy category が topological, つまり, ある stable model category の homotopy category の full subcategory になっていることを示すことにあった。 そのために stable \((\infty ,1)\)-category of noncommutative spectra の homotopy category を構成したのである。 ここでいう topological triangulated category は Schwede が [Sch10] で導入した概念である。

References

[ABS22]

Gregory Arone, Ilan Barnea, and Tomer M. Schlank. “Noncommutative CW-spectra as enriched presheaves on matrix algebras”. In: J. Noncommut. Geom. 16.4 (2022), pp. 1411–1443. arXiv: 2101.09775. url: https://doi.org/10.4171/jncg/481.

[ABS23]

Gregory Arone, Ilan Barnea, and Tomer M. Schlank. “Suspension spectra of matrix algebras, the rank filtration, and rational noncommutative CW-spectra”. In: Math. Ann. 386.1-2 (2023), pp. 35–84. arXiv: 2101.09778. url: https://doi.org/10.1007/s00208-022-02390-z.

[Blo]

Thomas Blom. A note on noncommutative CW-spectra. arXiv: 2201.04894.

[CH90]

Alain Connes and Nigel Higson. “Déformations, morphismes asymptotiques et \(K\)-théorie bivariante”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 311.2 (1990), pp. 101–106.

[Dăd94]

Marius Dădărlat. “A note on asymptotic homomorphisms”. In: \(K\)-Theory 8.5 (1994), pp. 465–482. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00961401.

[ELP98]

Søren Eilers, Terry A. Loring, and Gert K. Pedersen. “Stability of anticommutation relations: an application of noncommutative CW complexes”. In: J. Reine Angew. Math. 499 (1998), pp. 101–143.

[HT99]

T. G. Houghton-Larsen and Klaus Thomsen. “Universal (co)homology theories”. In: \(K\)-Theory 16.1 (1999), pp. 1–27. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007714104644.

[Mah15a]

Snigdhayan Mahanta. “Noncommutative stable homotopy and stable infinity categories”. In: J. Topol. Anal. 7.1 (2015), pp. 135–165. arXiv: 1211.6576. url: http://dx.doi.org/10.1142/S1793525315500077.

[Mah15b]

Snigdhayan Mahanta. “On the generating hypothesis in noncommutative stable homotopy”. In: Math. Scand. 116.2 (2015), pp. 301–308. arXiv: 1302.2051.

[MN06]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “The Baum-Connes conjecture via localisation of categories”. In: Topology 45.2 (2006), pp. 209–259. arXiv: math/0312292. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.07.001.

[Sch10]

Stefan Schwede. “Algebraic versus topological triangulated categories”. In: Triangulated categories. Vol. 375. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010, pp. 389–407. arXiv: 0807.2592.

[Tho03]

Andreas Berthold Thom. “Connective \(E\)-theory and bivariant homology for \(C^*\)-algebras”. PhD thesis. Univ. Münster, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät, 2003. url: http://wwwmath1.uni-muenster.de/sfb/about/publ/heft289.ps.