Derivator

Derivator とは, 簡単に言えば, small category に対し category を対応させるルールで, 良い条件をみたすもののことである。 その良い条件の帰結の一つとして, homotopy Kan extension の存在があり, よって homotopy (co)limit が存在し, ホモトピー論的な構成が行なえる。

Derivator の解説として, Cisinski と Neeman の [CN08] がある。Cisinski と Tabuada の [CT12] の Appendix も簡潔にまとまっていてよい。 Groth の [Gro13] も読み易い。 Coley の [Col22] によると, Groth は最近 family name が Rahn になったようであるが。 他にも, Cisinski や Maltsiniotis のホームページから download できるものがある。 基本的に全てフランス語であるが。 Künzer と Malgoire と Maltsiniotis は, derivator に関する website を作っている。

Derivator は, Grothendieck が考えたものだと思っていたが, Cisinski と Neeman によると, Grothendieck 以外にも, 独立に同様のことを考えた人は何人もいるようである。Keller [Kel91], Franke [Fra], Heller [Hel88] など。

Maltsiniotis の “Introduction à la théorie des dérivateurs” によると, derivator を考える motivation の一つは, triangulated category の diagram category を考えることにある。同様の motivation については, Groth [Gro13] の Introduction にも書いてある。

Maltsiniotis は, [Mal07] で, triangulated derivator の概念を定義し, その algebraic \(K\)-theory も定義している。

• pointed derivator
• triangulated derivator あるいは stable derivator
• derivator \(K\)-theory

Groth [Gro13] は, Maltsiniotis により導入されたと言いつつ, stable dervator という呼び方をしている。 そして [Groa] で stable derivator の特徴付けを得ている。 Shulman との共著 [RS21] では, homotopy finite limit と homotopy finite colimit との可換性による stable derivator の特徴付けを行なっている。

Derivator の stabilization については, Heller が [Hel97] で考えている。その証明の詳細を埋めたものとして, Coley の [Col19] がある。

ホモロジー代数的な応用としては, Tabuada の dg category の universal additive invariant と localizing invariant の構成 [Tab08] がある。 また, Goth と Šťovíček の [GŠ16] では, tilting theory の拡張を行なうために使われている。

Derivator の定義を正確に述べるためには, \(2\)-category の言葉が必要になる。

• prederivator

Prederivator とは, small category の成す \(2\)-category の sub-\(2\)-category である条件をみたすもの (poset の成す sub-\(2\)-categoryなど) から strict \(2\)-category への contravariant functor のことである。それがいくつかの条件をみたすとき derivator と言うが, その条件の内で重要なものとして cohomological および homological direct image functor の存在がある。 Franke の preprint [Fra] では, derivator とほぼ同じ概念が定義されていて, そこでは (co)homological direct image functor の存在が, homotopy Kan extension axiom と呼ばれている。

• cohomological direct image functor あるいは homotopy right Kan extension
• homological direct image functor あるいは homotopy left Kan extension

Cisinski と Neeman の [CN08] によると, これらはそれぞれ, homotopy limit と homotopy colimit に対 応するもののようである。実際, Keller と Nicolas が [KN13] の Appendix 1 で, sequential な場合に homological direct image functor と telescope による homotopy colimit が一致することを示している。

Franke の motivation は, stable homotopy category の chromatic現象を調べることにあったようで, derivator はホモトピー論の世界でも使える道具のようである。Franke の結果の応用として [Roi08] がある。

ホモトピー論の視点からは, derivator の例として, まず次のものを知っておくべきだろう。

• \(M\) を model category とする。 このとき \(\mathbb {D}_M(I) = \category {Funct}(I^{\op },M)\) で定義される \[ \mathbb {D}_M : \category {Cat} \longrightarrow \category {ModelCat} \] は derivator になる。[Cis03]

Cisinski は [Cis09] で, このような model category への functor category として表わされる \(2\)-functor の性質を調べている。 また Cisinski のホームページから download できる “Catégories dérivables” でも model category に associate した derivator について調べている。

Tabuada の dg category の universal additive invariant の構成 [Tab08] も, dg category の category が model category になることから, それに associate した derivator を考えることにより行なわれている。 その universal additive invariant の受け皿となる derivator を, Tabuada は, additive motivator と呼び, その base category を category of noncommutative motives と呼んでいる。

• additive motivator
• category of noncommutative motives

Tabuada は更に [CT12] で, Cisinski と共に additive motivator が monoidal structure を持つことを示している。Tabuada は [Tab13] で, algebraic \(K\)-theory などの additive invariant の様々な性質が, この additive motivator を用いて universal property で表わせるといっている。

Groth の [Grob] や Groth と Ponto と Shulman の [GPS14] では monoidal structure が考えられている。

• monoidal prederivator
• monoidal derivator

Groth と Ponto と Shulman [GPS14] によると, monoidal derivator は, trace の additivity を考えるのに最適だそうである。de Souza の [Gal14] も見るとよい。

Renaudin は, derivator の成す \(2\)-category と combinatorial model category の成す \(2\)-category を [Ren] で比較している。

Grothendieck の six operations を derivator の文脈で扱うために, Hörmann が [Hör17] で fibered derivator の概念を導入している。

• fibered derivator

また, そのformulationでは, multicategory が用いられているので, derivator の概念も multicategory に一般化されている。

• multiderivator
• fibered multiderivator

他の一般化としては, Coley [Col22] による limit か colimit のどちらかしか仮定しないものがある。

References

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[Col19]

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