Steenrod Homology and Its Generalizations

Steenrod homology とは, 簡単に言えば加法性公理の代りに cluster 公理を仮定した 距離空間の homology である。 Steenrod の [Ste40] で導入された。 Geometric topology で使われることが多い。 基本的な文献としては, Edwards と Hastings の [EH76b; EH76a] がある。

概要を掴むには, Inassaridze の [Ina91] の Introduction を見るとよい, と思う。

Inassaridze の [Ina91] では, Milnor の 1961年の mimeographed note が参照されているが, 現在では Novikov conjecture に関する conference の proceedings [FRR95] に [Mil95] として収録されている。 公理化は, この Milnor の論文で得られている。

Kaminker と Schochet の [KS77] のように, operator algebra の \(K\)-theory にも使われているので, Higson と Roe の analytic K-homology の本 [HR00] にも簡単な記述があり, Hawaiian earring の Steenrod homology の計算などが書いてある。

Steenrod は, compact metric space に対して定義したが, Sitnikov [Sit51] は一般の距離空間に対する homology を導入している。 そのため Lisica と Mardešić [LM83] は Steenrod-Sitnikov homology と呼んでいる。

Lisica と Mardešić は, この論文で Steenrod(-Sitnikov) homology を全ての位相空間に拡張し, strong homology と呼んでいる。

• strong homology

Mardešić と Prasolov の [MP88] の冒頭に書かれているように, strong homology は様々な良い性質を持つ。 例えば, paracompact Hausdorff space と closed subspace の組に対し, Eilenberg-Steenrod の公理をみたすし, CW複体のホモトピー型を持つ空間に対しては, singular homology と一致する。

Mardešić と Prasolov は, 連続体仮説の仮定の下で, 加法性公理が成り立たない例を構成している。このように strong homology は, 集合論の問題と密接に関係しているようで, 興味深い。

Hegenbarth と Repovš [HR20] によると generalized Steenrod homology theory は, Kahn, Kaminker, Schochet [KKS77] で導入された。Ferry の [Fer95] がある。

• generalized Steenrod homology

対応する ホモトピー群としては, Steenrod homotopy 群というものもある。Melikhov の [Mel09] を見るとよい。

References

[EH76a]

David A. Edwards and Harold M. Hastings. ̌Cech and Steenrod homotopy theories with applications to geometric topology. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 542. Berlin: Springer-Verlag, 1976, pp. vii+296.

[EH76b]

David A. Edwards and Harold M. Hastings. “Generalized Steenrod homology theories”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 82.2 (1976), pp. 328–330.

[Fer95]

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[FRR95]

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[HR00]

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[HR20]

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[Ina91]

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[KS77]

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[Mel09]

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[Mil95]

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[MP88]

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[Sit51]

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[Ste40]

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