Stenrod Homology

Steenrod homology とは, 簡単に言えば加法性公理の代りに cluster 公理を仮定した距離空間の homology である。 Steenrod の [Ste40] で導入された。 Geometric topology で使われることが多い。 基本的な文献としては, Edwards と Hastings の [EH76b; EH76a] がある。

概要を掴むには, Inassaridze の [Ina91] の Introduction を見るとよい, と思う。

Inassaridze の [Ina91] では, Milnor の 1961年の mimeographed note が参照されているが, 現在では Novikov conjecture に関する conference の proceedings [FRR95] に [Mil95] として収録されている。

Kaminker と Schochet の [KS77] のように, operator algebra の \(K\)-theory にも使われているので, Higson と Roe の analytic K-homology の本 [HR00] にも簡単な記述があり, Hawaiian earring の Steenrod homology の計算などが書いてある。

Steenrod は, compact metric space に対して定義したが, Sitnikov [Sit51] は一般の距離空間に対する homology を導入している。 nLab のページでは, 合せて Steenrod-Sitnikov homology と呼ばれている。

• Steenrod-Sitnikov homology

公理化は, Milnor の [Mil95] で得られている。

Hegenbarth と Repovš [HR] によると generalized Steenrod homology theory は, Kahn, Kaminker, Schochet [KKS77] で導入された。Ferry の [Fer95] がある。

• generalized Steenrod homology

対応するホモトピー群としては, Steenrod homotopy 群というものもある。Melikhov の [Mel09] を見るとよい。

References

[EH76a]

David A. Edwards and Harold M. Hastings. ̌Cech and Steenrod homotopy theories with applications to geometric topology. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 542. Berlin: Springer-Verlag, 1976, pp. vii+296.

[EH76b]

David A. Edwards and Harold M. Hastings. “Generalized Steenrod homology theories”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 82.2 (1976), pp. 328–330.

[Fer95]

Steven C. Ferry. “Remarks on Steenrod homology”. In: Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 2 (Oberwolfach, 1993). Vol. 227. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, pp. 148–166. url: https://doi.org/10.1017/CBO9780511629365.006.

[FRR95]

Steven C. Ferry, Andrew Ranicki, and Jonathan Rosenberg, eds. Novikov conjectures, index theorems and rigidity. Vol. 1. Vol. 226. London Mathematical Society Lecture Note Series. Including papers from the conference held at the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Oberwolfach, September 6–10, 1993. Cambridge: Cambridge University Press, 1995, pp. x+372. isbn: 0-521-49796-5.

[HR]

Friedrich Hegenbarth and Dušan Repovš. On Steenrod \(\mathbb {L}\)-homology, generalized manifolds, and surgery. arXiv: 2004.08803.

[HR00]

Nigel Higson and John Roe. Analytic \(K\)-homology. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. Oxford: Oxford University Press, 2000, pp. xviii+405. isbn: 0-19-851176-0.

[Ina91]

Hvedri Inassaridze. “On the Steenrod homology theory of compact spaces”. In: Michigan Math. J. 38.3 (1991), pp. 323–338. url: https://doi.org/10.1307/mmj/1029004385.

[KKS77]

Daniel S. Kahn, Jerome Kaminker, and Claude Schochet. “Generalized homology theories on compact metric spaces”. In: Michigan Math. J. 24.2 (1977), pp. 203–224.

[KS77]

Jerome Kaminker and Claude Schochet. “\(K\)-theory and Steenrod homology: applications to the Brown-Douglas-Fillmore theory of operator algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 227 (1977), pp. 63–107.

[Mel09]

S. A. Melikhov. “Steenrod homotopy”. In: Uspekhi Mat. Nauk 64.3(387) (2009), pp. 73–166. arXiv: 0812.1407. url: https://doi.org/10.1070/RM2009v064n03ABEH004620.

[Mil95]

John Milnor. “On the Steenrod homology theory”. In: Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993). Vol. 226. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, pp. 79–96. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511662676.005.

[Sit51]

K. Sitnikov. “The duality law for non-closed sets”. In: Doklady Akad. Nauk SSSR. (N.S.) 81 (1951), pp. 359–362.

[Ste40]

N. E. Steenrod. “Regular cycles of compact metric spaces”. In: Ann. of Math. (2) 41 (1940), pp. 833–851. url: https://doi.org/10.2307/1968863.