Positive Geometry

凸多面体は, 連立一次不等式で定義される Euclid 空間の領域で有界なものとして定義されるが, より高次の多項式に関する不等式で定義される場合, すなわち semialgebraic set を用いたものも考えられている。 Wachspress [Wac75] の polypol がそのようなものであるが, 最近でも Arkani-Hamed, Bai, Lam [ABL17] により positive geometry という概念が導入され調べられている。

既約複素射影多様体 \(X\) の real points の集合 \(X(\R )\) の oriented closed semialgebraic subset \(X_{\le 0}\) と canonical form の組で, ある条件をみたすものとして定義される。

解説も既に色々出ている。

• Arkani-Hamed らの [Ark+18] の Appendix A
• Lam の invitation [Lam24]
• Ranestad, Sturmfels, Telen の解説 [RST25]
• Telen の lecture notes [Tel]

凸多面体以外では, positive geometry は, 他にも以下のようなものの一般化になっている。

• amplituhedron
• momentum amplituhedron [FŁM20]
• open associahedron [HT20]
• flag varieties [ABL17]
• toric varieties [ABL17]
• the moduli space \(\overline {\cM }_{0,n}\) of pointed stable rational curves [AHL21]
• del Pezzo surfaces and their moduli spaces [Ear+25]
• wondertopes (regions in a wonderful compactification of a hyperplane arrangement complement) [Bra+25]

この中で amplituhedron 自体 Arkani-Hamed らが [AT14b; AT14a] で導入したものである。

Positive geometry に対しては, Francis Brown と Clément Dupont [BD25] による mixed Hodge theory による approach もある。 その論文の §5 には, 様々な例が挙げてある。また §6 には, hyperplane arrangement の場合について, 詳しく書かれている。

References

[ABL17]

Nima Arkani-Hamed, Yuntao Bai, and Thomas Lam. “Positive Geometries and Canonical Forms”. In: Journal of High Energy Physics 11 (2017), p. 039. arXiv: 1703.04541.

[AHL21]

Nima Arkani-Hamed, Song He, and Thomas Lam. “Cluster configuration spaces of finite type”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 17 (2021), Paper No. 092, 41. arXiv: 2005.11419. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2021.092.

[Ark+18]

Nima Arkani-Hamed, Yuntao Bai, Song He, and Gongwang Yan. “Scattering forms and the positive geometry of kinematics, color and the worldsheet”. In: J. High Energy Phys. 5 (2018), 096, front matter+75. arXiv: 1711.09102. url: https://doi.org/10.1007/jhep05(2018)096.

[AT14a]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “Into the Amplituhedron”. In: Journal of High Energy Physics 12 (2014), p. 182. arXiv: 1312.7878.

[AT14b]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “The Amplituhedron”. In: Journal of High Energy Physics 10 (2014), p. 030. arXiv: 1312.2007.

[BD25]

Francis Brown and Clément Dupont. “Positive geometries and canonical forms via mixed Hodge theory”. In: Comm. Math. Phys. 406.11 (2025), Paper No. 267, 65. arXiv: 2501.03202. url: https://doi.org/10.1007/s00220-025-05399-y.

[Bra+25]

Sarah Brauner, Christopher Eur, Elizabeth Pratt, and Raluca Vlad. “Wondertopes”. In: Adv. Math. 480.part C (2025), Paper No. 110516, 41. arXiv: 2403.04610. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2025.110516.

[Ear+25]

Nick Early, Alheydis Geiger, Marta Panizzut, Bernd Sturmfels, and Claudia He Yun. “Positive del Pezzo geometry”. In: Ann. Inst. Henri Poincaré D 12.4 (2025), pp. 819–868. arXiv: 2306.13604. url: https://doi.org/10.4171/aihpd/205.

[FŁM20]

Livia Ferro, Tomasz Łukowski, and Robert Moerman. “From momentum amplituhedron boundaries to amplitude singularities and back”. In: J. High Energy Phys. 7 (2020), pp. 201, 18. arXiv: 2003.13704. url: https://doi.org/10.1007/jhep07(2020)201.

[HT20]

Aidan Herderschee and Fei Teng. “Open associahedra and scattering forms”. In: J. High Energy Phys. 12 (2020), Paper No. 134, 46. arXiv: 2008.06418. url: https://doi.org/10.1007/jhep12(2020)134.

[Lam24]

Thomas Lam. “An invitation to positive geometries”. In: Open problems in algebraic combinatorics. Vol. 110. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, [2024] ©2024, pp. 159–179. arXiv: 2208.05407.

[RST25]

Kristian Ranestad, Bernd Sturmfels, and Simon Telen. “What is positive geometry?” In: Matematiche (Catania) 80.1 (2025), pp. 3–16. arXiv: 2502.12815.

[Tel]

Simon Telen. Positive Geometry of Polytopes and Polypols. arXiv: 2506.05510.

[Wac75]

Eugene L. Wachspress. A rational finite element basis. Mathematics in Science and Engineering, Vol. 114. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1975, pp. xiii+331.