確率論

最近のトポロジーと確率論の関係としては, 計算トポロジーでの persistent homology がある。Bubenik と Kim の [BK07] を読むとよい。 Mileyko, Mukherjee, Harer らは [MMH11; Tur+14] で persistence diagram の空間上の確率測度を考えている。

トポロジーというより微分幾何学寄りの話題であるが, Bismut が [Bis86] で確率論の応用について述べている。 Atiyah-Singer の index theorem や Witten Morse complex など。

よりトポロジーに近い問題として, 単体的複体などで, 頂点集合に辺や面を適当な確率で貼り付けたときにホモトピー型がどう変わるか, というものがある。最近盛んに研究されている。

• random object の topology

単体的複体との関係では, qualitative probability order という概念がある。有限集合上の probability measure の一般化になっているようなもののようである。

• qualitative probability order

Edelman と Gvozdeva と Slinko の [EGS13] では, qualitative probability order から作られる simplicial complex が考えられている。

グラフを確率論的に扱うには, subgraph density という量も重要なようである。 Lovasz と Szegedy の [LS11] によると, それによりグラフの列を考える際には graphon という \([0,1]\times [0,1]\) 上の関数が, グラフの列の一般化として考えられる。

Random walk については, graph や simplicial complex や arrangement など, 様々な幾何学的 (組せ合せ論的) 構造の上のものが考えられている。

• random walk

確率論の一般化として, noncommutative probability と呼ばれるものがある。 確率空間上の measurable function の成す可換な algebra (algebra of random varialbes) を非可換な algebra に変えようというアイデアである。その一種として Voiculescu と Dykema と Nica [VDN92] により導入された free probability がある。 やはり Tao による解説が分かりやすい。

• algebra of random variables
• free probability
• noncommutative probability

Noncrossing partition [Spe97] や complex cobordism [FM] などとも関係あるようである。

関連して, Park ら [DPT15a; DPT15b] が \(A_{\infty }\)-algebra や \(L_{\infty }\)-algebra などの homotopy algebra を使うことを提案している。 彼等は homotopy probability theory と呼んでいる。

• homotopy probability theory

Vargas [Var] がそれに関連して, noncommutative probability と TDA の関係について議論してい る。

別の方向では, Gauthier の algebraic stochastic calculus [Gau]がある。Grothendieck topologyやそれに関する sheafなどを使おうとして いる。当然 \((\infty ,1)\)-categoryなども使 われている。

確率論に触発された abstract simplicial complex の幾何学的実現が Ivan Marin [Mar20] により導入されている。普通の幾何学的実現と弱ホモトピー同値になるようであるが, どのような利点があるのだろうか。

ホモロジーを導入した人もいる。Baudot と Bennequin [BB15] の information homology である。 Vigneaux の thesis [Vig20] を見るとよい。

• information homology

圏論的なアプローチも, 何人かの人が考えている。Sturtz の [CS14; Stu] や Gogioso と Scandolo の [GS18] など。 他にも, Fritz ら [Fri20; FGP21; FL23] が調べている Markov category という構造もある。最初 Golubtsov [Gol99] により導入され, Cho と Jacobs [CJ19] により再発見されたらしい。

• Markov category

確率論に現れる概念を例にとった圏論の入門 [GF] もある。

References

[BB15]

Pierre Baudot and Daniel Bennequin. “The homological nature of entropy”. In: Entropy 17.5 (2015), pp. 3253–3318. url: https://doi.org/10.3390/e17053253.

[Bis86]

Jean-Michel Bismut. “Probability and geometry”. In: Probability and analysis (Varenna, 1985). Vol. 1206. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1986, pp. 1–60. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0076299.

[BK07]

Peter Bubenik and Peter T. Kim. “A statistical approach to persistent homology”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 337–362. arXiv: math/0607634. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127341.

[CJ19]

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[CS14]

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[DPT15a]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory I”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 425–435. arXiv: 1302 . 3684. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0067-y.

[DPT15b]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory II”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 623–635. arXiv: 1302 . 5325. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0078-3.

[EGS13]

Paul H. Edelman, Tatiana Gvozdeva, and Arkadii Slinko. “Simplicial complexes obtained from qualitative probability orders”. In: SIAM J. Discrete Math. 27.4 (2013), pp. 1820–1843. arXiv: 1108.3700. url: https://doi.org/10.1137/110844568.

[FGP21]

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[FL23]

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[FM]

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[Fri20]

Tobias Fritz. “A synthetic approach to Markov kernels, conditional independence and theorems on sufficient statistics”. In: Adv. Math. 370 (2020), pp. 107239, 105. arXiv: 1908 . 07021. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2020.107239.

[Gau]

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[GF]

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[Gol99]

P. V. Golubtsov. “Axiomatic description of categories of information converters”. In: Problemy Peredachi Informatsii 35.3 (1999), pp. 80–98.

[GS18]

Stefano Gogioso and Carlo Maria Scandolo. “Categorical probabilistic theories”. In: Proceedings 14th International Conference on Quantum Physics and Logic. Vol. 266. Electron. Proc. Theor. Comput. Sci. (EPTCS). EPTCS, [place of publication not identified], 2018, pp. 367–385. arXiv: 1701.08075. url: https://doi.org/10.4204/EPTCS.266.23.

[LS11]

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[Mar20]

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[MMH11]

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[Spe97]

Roland Speicher. “Free probability theory and non-crossing partitions”. In: Sém. Lothar. Combin. 39 (1997), Art. B39c, 38 pp. (electronic).

[Stu]

Kirk Sturtz. Categorical Probability Theory. arXiv: 1406.6030.

[Tur+14]

Katharine Turner, Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee, and John Harer. “Fréchet means for distributions of persistence diagrams”. In: Discrete Comput. Geom. 52.1 (2014), pp. 44–70. arXiv: 1206.2790. url: https://doi.org/10.1007/s00454-014-9604-7.

[Var]

Carlos Vargas. Non-commutative Probability Theory for Topological Data Analysis. arXiv: 1708.06078.

[VDN92]

D. V. Voiculescu, K. J. Dykema, and A. Nica. Free random variables. Vol. 1. CRM Monograph Series. A noncommutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras and harmonic analysis on free groups. Providence, RI: American Mathematical Society, 1992, pp. vi+70. isbn: 0-8218-6999-X.

[Vig20]

Juan Pablo Vigneaux. “Information structures and their cohomology”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 38, 1476–1529. arXiv: 1709.07807.