凸多面体の一般化

Euclid空間の凸多面体の一般化としては, まずその凸性だけを取り出した凸集合がある。

• convex set

凸多面体は Euclid 空間で考えるのが基本であるが, 球面や双曲空間での polytope を考えることもできる。 Felikson と Tumarkin の [FT08] によると, hyperbolic な場合はまだほとんど調べられていないようである。 Coxeter polytope の場合については, Felikson と Tumarkin の Introductionに少し書いてある。 彼等の [FT14] では, Vinberg の survey [Vin85] と本 [Vin93] が参照されている。Inoue [Ino08] によると, \(3\)次元の双曲多面体は, Andreev [And70] により調べられていて, Euclid空間の場合の Steinitz の定理に類似の特徴付けもできるようである。

• hyperbolic polytope
• spherical polytope

具体的な双曲空間の凸多面体としては, 例えば Kerckhoff と Storm の [KS10] で\(4\)次元の\(24\)胞体や cubooctahedron が使われている。

微分幾何学的な一般化としては, Gromove [Gro14] によるものがある。 Yu の [Yu] では, Riemannian polyhedron と呼ばれている。

• Riemannian polyhedron

組み合せ論的に抽象化すると, abstract polytope という概念が得られる。凸多面体の face lattice の持つ性質を抽象化して定義される poset のことである。 変換群を考え, abstract regular polytope という概念を定義することもできる。

• abstract polytope
• abstract regular polytope

抽象的というか, 現実には存在しない方向への一般化として, virtual polytope というものもある。Minkowski 和に関する形式的な差を考えたものである。 Khovanskii と Pukhlikov [Khovanskii-Pukhlikov1992-2] により導入されたのが最初なのだろうか。

• virtual polytope

有限体上の polytope という概念も考えることができる。Monson と Schulte の [MS04; MS07] など。

Polytope に構造を追加したものもある。例えば, H. Sakai [Sak13] は, stacky polytope という構造を考えている。Torus の作用を持つ symplectic smooth stack を考えるためである。

• stacky fan
• stacky polytope

Euclid 空間を半径 \(\infty \) の球面とみなすことで, Euclid 空間の多面体による tiling を凸多面体の一種と考えて調べることも, 古くから行なわれている。

• tiling

また, 球面を他の曲面に変えることも考えられている。 例えば, 曲面の正則な胞体分割は, map と呼ばれ, 多面体の一般化として調べられている。写像という意味の map とまぎらわしいが。

• map

一般化としては, Arkani-Hamed, Bai, Lam [ABL17] により導入された, positive geometry というものもある。 既約複素射影多様体 \(X\) と \(X(\R )\) の oriented closed semialgebraic subset \(X_{\le 0}\) の組である条件をみたすものとして定義される。

• positive geometry

Arkani-Hamed は Trnka と共に [AT14b; AT14a] で amplituhedron を導入し調べている。 関連したもの (一般化) として, Lam が [Lam16] で導入した Grassmann polytope がある。

• amplituhedron や Grassmann polytope

References

[ABL17]

Nima Arkani-Hamed, Yuntao Bai, and Thomas Lam. “Positive Geometries and Canonical Forms”. In: Journal of High Energy Physics 11 (2017), p. 039. arXiv: 1703.04541.

[And70]

E. M. Andreev. “Convex polyhedra in Lobačevskiı̆ spaces”. In: Mat. Sb. (N.S.) 81 (123) (1970), pp. 445–478.

[AT14a]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “Into the Amplituhedron”. In: Journal of High Energy Physics 12 (2014), p. 182. arXiv: 1312. 7878.

[AT14b]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “The Amplituhedron”. In: Journal of High Energy Physics 10 (2014), p. 030. arXiv: 1312.2007.

[FT08]

Anna Felikson and Pavel Tumarkin. “On hyperbolic Coxeter polytopes with mutually intersecting facets”. In: J. Combin. Theory Ser. A 115.1 (2008), pp. 121–146. arXiv: math / 0604248. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2007.04.006.

[FT14]

Anna Felikson and Pavel Tumarkin. “Essential hyperbolic Coxeter polytopes”. In: Israel J. Math. 199.1 (2014), pp. 113–161. arXiv: 0906.4111. url: https://doi.org/10.1007/s11856-013-0046-3.

[Gro14]

Misha Gromov. “Dirac and Plateau billiards in domains with corners”. In: Cent. Eur. J. Math. 12.8 (2014), pp. 1109–1156. arXiv: 1811.04318. url: https://doi.org/10.2478/s11533-013-0399-1.

[Ino08]

Taiyo Inoue. “Organizing volumes of right-angled hyperbolic polyhedra”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.3 (2008), pp. 1523–1565. arXiv: 0809.2111. url: https://doi.org/10.2140/agt.2008.8.1523.

[KS10]

Steven P. Kerckhoff and Peter A. Storm. “From the hyperbolic 24-cell to the cuboctahedron”. In: Geom. Topol. 14.3 (2010), pp. 1383–1477. arXiv: 0805.4537. url: https://doi.org/10.2140/gt.2010.14.1383.

[Lam16]

Thomas Lam. “Totally nonnegative Grassmannian and Grassmann polytopes”. In: Current developments in mathematics 2014. Int. Press, Somerville, MA, 2016, pp. 51–152. arXiv: 1506.00603.

[MS04]

B. Monson and Egon Schulte. “Reflection groups and polytopes over finite fields. I”. In: Adv. in Appl. Math. 33.2 (2004), pp. 290–317. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2003.11.002.

[MS07]

B. Monson and Egon Schulte. “Reflection groups and polytopes over finite fields. II”. In: Adv. in Appl. Math. 38.3 (2007), pp. 327–356. arXiv: math/0601502. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2005.12.001.

[Sak13]

Hironori Sakai. “The symplectic Deligne-Mumford stack associated to a stacky polytope”. In: Results Math. 63.3-4 (2013), pp. 903–922. arXiv: 1009 . 3547. url: https://doi.org/10.1007/s00025-012-0240-3.

[Vin85]

È. B. Vinberg. “Hyperbolic groups of reflections”. In: Uspekhi Mat. Nauk 40.1(241) (1985), pp. 29–66, 255.

[Vin93]

È. B. Vinberg, ed. Geometry. II. Vol. 29. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Spaces of constant curvature, A translation of Geometriya. II, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow, 1988, Translation by V. Minachin [V. V. Minakhin]. Berlin: Springer-Verlag, 1993, pp. viii+254. isbn: 3-540-52000-7.

[Yu]

Li Yu. On Riemannian polyhedra with non-obtuse dihedral angles in 3-manifolds with positive scalar curvature. arXiv: 2201.06059.