距離の一般化

距離はとても素朴な概念なので, 様々な方向に一般化されている。

まず誰でも思いつくのは \(\infty \) も許した距離だろう。例えば, Bridgeland の stability condition の空間についての [Bri07] や Mineyev の [Min05] などで使われている。

取る値を一般化するという方向では, Conant の [Con19] で ordered commutative monoid に値を持つ距離関数が考えられている。

距離の3つの公理の条件を弱めたものも考えられている。 対称性を仮定しないものは, 例えば, Thurston の [Thu] や Lenzhen と Kasra と Tao の [LRT12] などで登場する。

Suarez [Sua22] や Secelean ら [SMW19] によると, 最初にそのような非対称な 距離を調べたのは W.A. Wilson [Wil31] のようである。 そこでは quasi-metric と呼ばれているし, K. Turner の [Tur19] のように quasi-metric と呼んでいる文献も多いが, Gray と Kambites [GK13] は semi-metric と呼ぶことを提案している。Quasi という接頭辞の使い方が geometric group theory でのものと conflict するからである。

• asymmetric metric あるいは quasi-metric あるいは semi-metric

このような非対称なものは, Lawvere による metric space を enriched category とみなす視点 [Law73] と相性がよい。

Mihara [Mih21] によると, この Lawvere の視点と model structure が相性が良いことに気がついたのは, Durov [Dur17; Dur18] のようである。Mihara は edge set という距離空間の一般化を導入し, edge set と short map の category に model structure を導入している。 そして, ultrametric space が fibrant-cofibrant object として特徴付けられることを示している。

• edge space

Edelsbrunner と Wagner の [EW17] では Bregman divergence (distance) [Brè67] というものが考えられている。 非退化であるという性質のみをみたすものである。 その目的は topological data analysis の適用範囲を広げるためである。

• Bregman divergence

対称性と非負であるということのみみたすもの Hao Chen [Che15] が考えている。

\(d(x,x)=0\) のみをみたすものは, Bruno と Szeptycki の [BS17] では premetric spaceと呼ばれ, その category が調べられている。

• premetric space

Gähler [Gäh63] により導入された \(2\)-metric space というものもある。これは3点 \(x,y,z\in X\) に対し実数 \(d(x,y,z)\) を対応させるものである。

• \(2\)-metric space

最近では, Aliouche と Simpson が一連の論文 [AS12; AS14; AS17] の中で調べている。

更に, 有限部分集合に対して実数を対応させるものもある。Bryand と Tupper [BT12] により導入された diversity というものである。

• diversity

Gotfredsen と Kaad と Kyed [GKK21] によると, 非可換幾何学の視点での一般化は, やはり Connes [Con89] により導入されたようである。 その後, compact quantum metric space という概念が, Rieffel [Rie98; Rie99; Rie04] により整備された。

• compact quatum metric space

References

[AS12]

Abdelkrim Aliouche and Carlos Simpson. “Fixed points and lines in 2-metric spaces”. In: Adv. Math. 229.1 (2012), pp. 668–690. arXiv: 1003.5744. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.10.002.

[AS14]

Abdelkrim Aliouche and Carlos Simpson. “Common fixtures of several maps on 2-metric spaces”. In: Indian J. Math. 56.2 (2014), pp. 229–262.

[AS17]

Abdelkrim Aliouche and Carlos Simpson. “Approximate categorical structures”. In: Theory Appl. Categ. 32 (2017), Paper No. 44, 1522–1562. arXiv: 1511.01532.

[Brè67]

L. M. Brègman. “A relaxation method of finding a common point of convex sets and its application to the solution of problems in convex programming”. In: Z̆. Vyčisl. Mat. i Mat. Fiz. 7 (1967), pp. 620–631.

[Bri07]

Tom Bridgeland. “Stability conditions on triangulated categories”. In: Ann. of Math. (2) 166.2 (2007), pp. 317–345. arXiv: math/0212237. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.166.317.

[BS17]

J. Bruno and P. Szeptycki. “Quantales, generalised premetrics and free locales”. In: Appl. Categ. Structures 25.6 (2017), pp. 1045–1058. arXiv: 1502.05351. url: https://doi.org/10.1007/s10485-016-9465-8.

[BT12]

David Bryant and Paul F. Tupper. “Hyperconvexity and tight-span theory for diversities”. In: Adv. Math. 231.6 (2012), pp. 3172–3198. arXiv: 1006 . 1095. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.08.008.

[Che15]

Hao Chen. “Distance geometry for kissing spheres”. In: Linear Algebra Appl. 479 (2015), pp. 185–201. arXiv: 1203.2131. url: https://doi.org/10.1016/j.laa.2015.04.012.

[Con19]

Gabriel Conant. “Extending partial isometries of generalized metric spaces”. In: Fund. Math. 244.1 (2019), pp. 1–16. arXiv: 1509.04950. url: https://doi.org/10.4064/fm484-9-2018.

[Con89]

A. Connes. “Compact metric spaces, Fredholm modules, and hyperfiniteness”. In: Ergodic Theory Dynam. Systems 9.2 (1989), pp. 207–220. url: https://doi.org/10.1017/S0143385700004934.

[Dur17]

N. V. Durov. “Homotopy theory of normed sets I. Basic constructions”. In: Algebra i Analiz 29.6 (2017), pp. 35–98. url: https://doi.org/10.1090/spmj/1520.

[Dur18]

N. V. Durov. “Homotopy theory of normed sets II. Model categories”. In: Algebra i Analiz 30.1 (2018), pp. 32–95. url: https://doi.org/10.1090/spmj/1529.

[EW17]

Herbert Edelsbrunner and Hubert Wagner. “Topological data analysis with Bregman divergences”. In: 33rd International Symposium on Computational Geometry. Vol. 77. LIPIcs. Leibniz Int. Proc. Inform. Schloss Dagstuhl. Leibniz-Zent. Inform., Wadern, 2017, Art. No. 39, 16. arXiv: 1607.06274.

[Gäh63]

Siegfried Gähler. “\(2\)-metrische Räume und ihre topologische Struktur”. In: Math. Nachr. 26 (1963), pp. 115–148. url: https://doi.org/10.1002/mana.19630260109.

[GK13]

Robert Gray and Mark Kambites. “Groups acting on semimetric spaces and quasi-isometries of monoids”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 365.2 (2013), pp. 555–578. arXiv: 0906.0473. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05868-5.

[GKK21]

Thomas Gotfredsen, Jens Kaad, and David Kyed. “Gromov-Hausdorff convergence of quantised intervals”. In: J. Math. Anal. Appl. 500.2 (2021), Paper No. 125131, 13. arXiv: 2007.09694. url: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2021.125131.

[Law73]

F. William Lawvere. “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. In: Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135–166 (1974).

[LRT12]

Anna Lenzhen, Kasra Rafi, and Jing Tao. “Bounded combinatorics and the Lipschitz metric on Teichmüller space”. In: Geom. Dedicata 159 (2012), pp. 353–371. arXiv: 1011 . 6078. url: https://doi.org/10.1007/s10711-011-9664-2.

[Mih21]

Tomoki Mihara. “Homotopy theory of ultrametric spaces”. In: High. Struct. 5.1 (2021), pp. 384–400.

[Min05]

Igor Mineyev. “Flows and joins of metric spaces”. In: Geom. Topol. 9 (2005), pp. 403–482. arXiv: math / 0503274. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.403.

[Rie04]

Marc A. Rieffel. “Compact quantum metric spaces”. In: Operator algebras, quantization, and noncommutative geometry. Vol. 365. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, pp. 315–330. url: https://doi.org/10.1090/conm/365/06709.

[Rie98]

Marc A. Rieffel. “Metrics on states from actions of compact groups”. In: Doc. Math. 3 (1998), pp. 215–229.

[Rie99]

Marc A. Rieffel. “Metrics on state spaces”. In: Doc. Math. 4 (1999), pp. 559–600.

[SMW19]

Nicolae Adrian Secelean, Sunil Mathew, and Dariusz Wardowski. “New fixed point results in quasi-metric spaces and applications in fractals theory”. In: Adv. Difference Equ. (2019), Paper No. 177, 23. url: https://doi.org/10.1186/s13662-019-2119-z.

[Sua22]

Anna Laura Suarez. “The category of finitary biframes as the category of pointfree bispaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.2 (2022), Paper No. 106783, 39. arXiv: 2010.04622. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2021.106783.

[Thu]

William P. Thurston. Minimal stretch maps between hyperbolic surfaces. arXiv: math/9801039.

[Tur19]

Katharine Turner. “Rips filtrations for quasimetric spaces and asymmetric functions with stability results”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.3 (2019), pp. 1135–1170. arXiv: 1608 . 00365. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.1135.

[Wil31]

W. A. Wilson. “On Quasi-Metric Spaces”. In: Amer. J. Math. 53.3 (1931), pp. 675–684. url: https://doi.org/10.2307/2371174.