Malvenuto-Reutenauer Hopf Algebra

Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra は, Aguiar と Sottile [AS05] によると, Malvenuto の [Mal94] で導入されたらしい。 主要な combinatorial Hopf algebra の一つである。

出版されたものとしては, [MR95] が最初なので, Malvenuto-Reutenauer (Hopf) algebra と呼ばれているようである。

代数的には, 標数 \(0\) の体 \(k\) 上で, 対称群の group algebra の直和 \(\bigoplus _{n\ge 0} k[\Sigma _n]\) に Hopf algebra の構造を定義したものである, 様々な combinatorial Hopf algebra と関係がある Hopf algebra である。 Aguiar と Sottile の [AS05; AS] を見るとよい。

Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra と, 様々な combinatorial Hopf algebra との関係は, Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra が free quasisymmetric function の成す Hopf algebra と同型であることからも分かる。 この視点からは, Duchap, Hivert, Thibon の [DHT02; Duc+11] がある。

Aliniaeifard と Thiem が categorification を構成している。

References

[AS]

Marcelo Aguiar and Frank Sottile. Structure of the Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra of permutations (Extended Abstract). arXiv: math/0203101.

[AS05]

Marcelo Aguiar and Frank Sottile. “Structure of the Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra of permutations”. In: Adv. Math. 191.2 (2005), pp. 225–275. arXiv: math/0203282. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.03.007.

[DHT02]

Gérard Duchamp, Florent Hivert, and Jean-Yves Thibon. “Noncommutative symmetric functions. VI. Free quasi-symmetric functions and related algebras”. In: Internat. J. Algebra Comput. 12.5 (2002), pp. 671–717. arXiv: math/0105065. url: https://doi.org/10.1142/S0218196702001139.

[Duc+11]

Gérard H. E. Duchamp, Florent Hivert, Jean-Christophe Novelli, and Jean-Yves Thibon. “Noncommutative symmetric functions VII: free quasi-symmetric functions revisited”. In: Ann. Comb. 15.4 (2011), pp. 655–673. arXiv: 0809.4479. url: https://doi.org/10.1007/s00026-011-0115-4.

[Mal94]

C. Malvenuto. Produits et coproduits des fonctions quasi-symétriques et de l’algèbre des descentes. Publications du Laboratoire de Combinatoire et d’Informatique, Universite du Quebec a Montreal. 1994.

[MR95]

Clauda Malvenuto and Christophe Reutenauer. “Duality between quasi-symmetric functions and the Solomon descent algebra”. In: J. Algebra 177.3 (1995), pp. 967–982. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1995.1336.